作业帮如何确定无限集合中元素个数问题呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:58:30
如何确定无限集合中元素个数问题呢?
如何确定无限集合中元素个数问题呢?
如何确定无限集合中元素个数问题呢?
你是参加高考的么?高考不研究这个吧?
不过我可以跟你简单讲讲测度论和实分析里的东西.
无限集合的个数可否比较呢?
我知道你也许正在思考这样一个问题,偶数和奇数谁多,偶数和自然数谁多,自然数和整数谁多.
我可以告诉你最标准的答案,他们都是一样多.
在无限集合里是这样定义一样多的:
如果两个集合之间存在一个一一映射,那么这2个集合的个数就是一样多.
因为偶数和整数之间存在这样的关系:
对于每一个偶数,它的一半都是一个整数;
而对于没一个整数,它的两倍又是一个偶数.
存在着一一对应的关系,因此他们2个的元素个数是一样的.
同理你也可以知道我前面提到的那些数域的关系也是元素个数一样.
几何图形也存在着这样的对应关系,比如一个线段和另一个线段,存在着一个映射使它们互相一一映射,这个映射画出来有点像一个扇形的一条条竖的边.
还可以同样说明一个线段和一段弧线存在一一映射.
更复杂的,可以证明一个单位圆盘也可以和整个平面除去圆盘的部分一一映射,可以这样映:设圆盘圆心是O,对于圆盘内的每个点X,取圆盘外在OX射线上,但是到O的距离刚好是|OX|的倒数的点.
再往开点说,其实圆盘与整个平面也是一一对应的,任何封闭曲面之间也是一一对应的.
这些都说开了,希望你对这些有个认识.
我现在还具体跟你说说,整数和偶数个数是相同的,那么它们到底有多少个?
也许你要说,无限多个,这个回答是正确的,但是是不确切的.
我们准确地说,整数和偶数的个数是"可列"多个的.
什么叫"可列"个?就是这些数能按数列那样,一个一个往下列下去.
显然整数偶数自然数这些都可以,更深入地说,有理数也可以,但是列的规则就比较难找.
凡是"可列"个元素组成的集合,我们都认为它们的元素个数是相等的,它们也是互相可以一一影射的.
那么"可列"多个和无穷多个又有什么关系呢?
我告诉你一个有趣的结论,"可列"多个是无穷多个里面层次最低,元素个数最少的.
虽然同样是无穷多个,还会有的无穷集合里的元素个数比可列个更多.
比如实数的个数,
实数的个数被称为"阿列夫"个,它的个数可以认为是"可列个"的集合的幂集的元素个数.
我们先不深究这"阿列夫"个实际是多少,我只在这里告诉你为什么它比可列个多.
因为它是不可列的,实数集不可能像整数那样一个个往下列,因为你永远不知道下一个该列的是什么,不管你的下一个数字和现在这个数字差的再小,这之间仍然有无穷多个点没被列出来(事实上可以假设实数可以被列为{a1,a2,...,an},然后反证).
除了实数集有"阿列夫"个元素,还有比如线段里的点的个数,平面上点的个数,无理数的个数,都是"阿列夫"个.
而"可列个"元素相对与"阿列夫"个来说,可以忽略不计,用可列个元素除以"阿列夫"个,结果是趋近于0的.
举个例子:[0,1]内的所有有理数点凑在一起所占区间的长度是趋近于0的,而无理点凑在一起几乎够成整个区间,无理数比有理数多的多!