作业帮设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:39:51
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
充分性：
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得：AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知：存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设：对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R（A）＜m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R（A）=m.
必要性得证.
充分性：
因为，A是m*n矩阵A，且R(A)=m （根据已知条件）
所以，A中存在m个n维行向量线性无关 （根据定理：矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量线性相关）
设α为A的行向量，
假设，R(A)
αm=k1α1+k2α2++...
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充分性：
因为，A是m*n矩阵A，且R(A)=m （根据已知条件）
所以，A中存在m个n维行向量线性无关 （根据定理：矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量线性相关）
设α为A的行向量，
假设，R(A)
αm=k1α1+k2α2++……+k(m-1)α(m-1) （）
因此，用-k1、-k2、……、-k(m-1)分别乘以A的第一行、……、第m-1行，再加到m行上去，就使得第m行中所有的元素都为0
则，R(A)=m-1
这与已知条件矛盾
所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0
所以，|A|≠0
所以，A为可逆阵
所以，存在矩阵B，使得，AB=E
因为，A是m*n矩阵
所以，他的逆矩阵B为n*m矩阵
所以，存在n*m矩阵B，使AB=E
必要性：
因为，A是m*n矩阵，且，存在n*m矩阵B，使AB=E
所以，|A|≠0
所以，不存在第i行中的元素经过初等变换之后为0
即，矩阵A中不为0的式子的最高阶数为m
所以， R(A)=m （根据秩的定义）
证毕
楼主应该说明m≤n吧，否则，
根据定理：任意m（m>n）个n维向量线性相关，即R(A)
收起