设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:01:06
设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵

设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵
设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)
A'是A的转置矩阵

设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵
这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法
显然,AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之,若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故 (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即 A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).
同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')
而 r(A') = r(A)
所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').

把A分解成一个可逆的m*m的方阵和一个m*n的分块
其中分块为｛E_r 0，0，0｝，r是A的秩
然后利用矩阵分块的乘法容易证明结论了

设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A) 设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)A'是A的转置矩阵 设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2) 设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,证明秩r(AB) 设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B). 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵 设A,B都是m×n矩阵,证明A,B等价的充要条件是r(A)=r(B) 线性代数有关矩阵的一个问题设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC 设A是m×n的矩阵,B是n×p的矩阵,证明:若R(A)=n,R(AB)=R(B) 设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0 设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵 设A是m*n实矩阵,若r（ATA)=5,则r(A)= 线性代数求解 设A是m×n实矩阵,证明A^T A正定的充要条件是r(A)=n 设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC 设A是m*n矩阵,证明A的秩等于其转置矩阵的秩,即r（A）=r（A'） 设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m 设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m 设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E