作业帮高等数学问题,2元函数的极限求lim （1 + xy）^(1/(x+y))的极限 x→0 y→0书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y) (x,y)→(0,0)请问高手这一步是怎么得来的,我已经知道lim （1 +x) ^1/x=e
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:45:41
高等数学问题,2元函数的极限求lim （1 + xy）^(1/(x+y))的极限 x→0 y→0书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y) (x,y)→(0,0)请问高手这一步是怎么得来的,我已经知道lim （1 +x) ^1/x=e
高等数学问题,2元函数的极限
求lim （1 + xy）^(1/(x+y))的极限
x→0
y→0
书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y)
(x,y)→(0,0)
请问高手这一步是怎么得来的,
我已经知道lim （1 +x) ^1/x=e
x→0
高等数学问题,2元函数的极限求lim （1 + xy）^(1/(x+y))的极限 x→0 y→0书上解法是是原式=lim e^xy/(x+y) (x,y)→(0,0)请问高手这一步是怎么得来的,我已经知道lim （1 +x) ^1/x=e
对于幂指函数的极限,常取对数,所以化为e^[ln(1+xy)/(x+y)],用等价无穷小ln(1+x)~x(x→0),则ln(1+xy)替换为xy,得
原式=lim e^xy/(x+y)
两边求导
因为lim （1 +x) ^1/x=e，所以可知lim （1 +xy) ^1/(xy)=e， x→0 x→0 ,y→0
故 lim （1 + xy）^(1/(x+y))= lim(1+xy)^[(1/xy)*(xy/(x+y))]=l...
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因为lim （1 +x) ^1/x=e，所以可知lim （1 +xy) ^1/(xy)=e， x→0 x→0 ,y→0
故 lim （1 + xy）^(1/(x+y))= lim(1+xy)^[(1/xy)*(xy/(x+y))]=lime^xy/(x+y)
x→0 ，y→0 (x,y)→0 (x,y)→0
收起
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0)
lim （1 + xy）^(1/(x+y))
=lim （1 + xy）^[1/xy*xy(1/(x+y))]（将xy当成一个数来看）
=lim e^[xy/(x+y)]
{e^[xy/(x+y)]}‘=0时有极值
求导得：(x^2+y^2)/(x+y)^2=0
x→0
y→0