设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.后面的计算请详细解答,主要就是后面的计算不会做.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 07:31:34

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.后面的计算请详细解答,主要就是后面的计算不会做.
设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.
后面的计算请详细解答,主要就是后面的计算不会做.

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0,方差为1/2的正态分布,求随机变量|X-Y|的方差.后面的计算请详细解答,主要就是后面的计算不会做.
分析：
这个直接求,有直接定理
E(X)=E(Y)=u=0
Z=X-Y
E（|Z|）=（2/√2π）∫ze^（-z^2/2)dz=√(2/π)
D(X)=D(Y)=1/2
D(|X-Y|)=E(|X-Y|^2)-[E(|X-Y|)]^2
=E(X^2)-[E(X)]^2+E(Y^2)-[E(Y)]^2-2E(XY)-[E(|X-Y|)]^2
=D(X)+D(Y)-2E(X)E(Y)-[E(|X-Y|)]^2
=1-2/π

全部展开

V=X-Y
X,Y独立，所以EV=EX-EY=0 Var(V)=Var(X)+Var(-Y)=1
所以V=X-Y~N(0,1) 所以V的密度函数是f(v)=1/√2π*e^(-v^2/2)
那么U=|V|
F(u)=P(U<=u)=P(|V|<=u)=P(-u<=V<=u)=2P(V<=u)-1=2Φ(u)-1
fU(u)=F'(u)=2Φ'(u)=2fV(u)=2/√2π*e^(-u^2/2) u>=0
E(u) =2/√2π*∫(0,∞) u*e^(-u^2/2) du
=-2/√2π*∫(0,∞) e^(-u^2/2) d(-u^2/2)
=-2/√2π* (e^(u^2/2) (0,∞)
=2/√2π=√2/π
Var(u)
=2/√2π*∫(0,∞)( u-√2/π)^2*e^(-u^2/2) du
=2/√2π*[∫(0,∞)u^2*e^(-u^2/2) du-∫(0,∞)2√2/π*u*e^(-u^2/2)du+∫(0,∞)2/π*e^(-u^2/2) du]
∫(0,∞)u^2*e^(-u^2/2) du
=-∫(0,∞)ud(e^(-u^2/2))
=-u*e^(-u^2/2) (0,∞)+∫(0,∞)e^(-u^2/2)du
=∫(0,∞)e^(-u^2/2)du=√π/2
∫(0,∞)2√2/π*u*e^(-u^2/2)du
=2√2/π*∫(0,∞)u*e^(-u^2/2)=2√2/π
∫(0,∞)2/π*e^(-u^2/2) du
=2/π∫(0,∞)e^(-u^2/2) du=2/π*√π/2
所以
Var(u)=2/√2π*[√π/2-2√2/π+2/π*√π/2]
=1-2/π
不知道对否

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