作业帮二项式定理证明整除问题求证 2^(6n-3) + 3^(2n-1) 能被11整除~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:56:39
二项式定理证明整除问题求证 2^(6n-3) + 3^(2n-1) 能被11整除~
二项式定理证明整除问题
求证 2^(6n-3) + 3^(2n-1) 能被11整除~
二项式定理证明整除问题求证 2^(6n-3) + 3^(2n-1) 能被11整除~
二项式定理证明
2^(6n-3)+3^(2n-1)=(11-3)^(2n-1)+3^(2n-1)
=11^(2n-1)+(2n-1)11^(2n-2)(-3)+C(2n-1,2)11^(2n-3)(-3)^2+……+C(2n-1,2n-2)*11*(-3)^(2n-2)+(-3)^(2n-1)+3^(2n-1)
=11Q（Q为整数）
所以11整除2^(6n-3)+3^(2n-1)
数学归纳法证明
1)当n=1时,2^6n-3 + 3^2n-1 = 2^3 + 3^1 = 8+3 = 11,能被11整除
2)假设2^6n-3 + 3^2n-1能被11整除,如果将n换成n+1时也能被11整除,则此命题成立：
2^6（n+1）-3 + 3^2（n+1）-1
= 2^6n+6-3 + 3^2n+2-1
= 2^6n+3 + 3^2n+1
= 2^6n-3+6 + 3^2n-1+2
= 2^6 * 2^6n-3 + 3^2 * 3^2n-1
= 64 * 2^6n-3 + 9 * 3^2n-1
= (55+9) * 2^6n-3 + 9 * 3^2n-1
= 55 * 2^6n-3 + 9 * (2^6n-3 + 3^2n-1)
因55 * 2^6n-3可被11整除,而2^6n-3 + 3^2n-1也可被11整除
故证明将n换成n+1时也能被11整除,此命题成立.
2^(6n-3) + 3^(2n-1)
=2^[3(2n-1)]+3^(2n-1)
=8^(2n-1)+3^(2n-1)
=11^(2n-1)
所以能