作业帮已知a,b,c属于正数,求证(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 17:11:13
已知a,b,c属于正数,求证(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc
已知a,b,c属于正数,求证(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc
已知a,b,c属于正数,求证(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2/a+b+c≥abc
即b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥abc*(a+b+c)
即b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥a^2bc+b^2ac+c^2ab
即2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2≥2a^2bc+2b^2ac+2c^2ab
因为b^2c^2+c^2a^2≥2c^2ab,
c^2a^2+a^2b^2≥2a^2bc,
b^2c^2+a^2b^2≥2b^2ac
所以得证
倒着写即可
(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc可化为
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥(a+b+c)abc
只要求证b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-(a+b+c)abc≥0即可
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-(a+b+c)abc化为
1/2(b^2c^2-2c^2ab+c^2a...
全部展开
(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc可化为
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥(a+b+c)abc
只要求证b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-(a+b+c)abc≥0即可
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-(a+b+c)abc化为
1/2(b^2c^2-2c^2ab+c^2a^2）
+1/2（b^2c^2-2b^2ac+a^b^2）
+1/2（a^2c^2-2a^2bc+a^2b^2）
=1/2（bc-ca)^2+1/2(bc-ab)^2+1/2(ac-ab)^2
因为1/2（bc-ca)^2≥0 1/2(bc-ab)^2≥0
1/2(ac-ab)^2≥0
所以b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2-(a+b+c)abc≥0
即(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)/(a+b+c) ≥abc
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