作业帮二重积分求面积,这个能算多少,格林公式算这个是不是要乘以二分之一?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 22:34:12
二重积分求面积,这个能算多少,格林公式算这个是不是要乘以二分之一?
二重积分求面积,这个能算多少,格林公式算这个是不是要乘以二分之一?
二重积分求面积,这个能算多少,格林公式算这个是不是要乘以二分之一?
∫c (- x²y) dx + (xy²) dy
设P = - x²y、∂P/∂y = - x²
设Q = xy²、∂Q/∂x = y²
Q'x - P'y = y² - (- x²) = x² + y²
补上线段c₀、y = 0、dy = 0
Ic₀ = ∫c₀ (- x²y) dx + (xy²) dy = 0
∮(c + c₀) (- x²y) dx + (xy²) dy = ∫∫D (x² + y²) dxdy
= ∫(0→π) dθ ∫(0→2) r³ dr
= π • (1/4)[ r⁴ ]：0→2
= 4π
= Ic + Ic₀
Ic = 4π
直接计算：
x = 2cost、dx = - 2sint dt
y = 2sint、dy = 2cost dt
t：0→π
∫ (- x²y) dx = ∫(0→π) (- 4cos²t)(2sint)(- 2sint) dt
= 16∫(0→π) sin²tcos²t dt
= 16∫(0→π) (1/4)sin²2t dt
= 2∫(0→π) (1 - cos4t) dt
= 2[ t - (1/4)sin4t ]：0→π
= 2π
∫ (xy²) dy = ∫(0→π) (2cost)(4sin²t)(2cost) dt
= 16∫(0→π) sin²tcos²t dt
= 2∫(0→π) (1 - cos4t) dt
= 2[ t - (1/4)sin4t ]：0→π
= 2π
∴Ic = 2π + 2π = 4π
面积公式
使Q'x - P'y = 1
P = - y/2
Q = x/2
从而∮c (- y/2)dx + (x/2)dy = ∫∫D dxdy = A
A = (1/2)∮c xdy - ydx