作业帮设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1,在满足（1）（2）的所有圆中,求圆心到直线L：x-2的距离最小的圆的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:44:33
设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1,在满足（1）（2）的所有圆中,求圆心到直线L：x-2的距离最小的圆的方程
设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1,在满足（1）（2）的所有圆中,求圆心到直线L：x-2的距离最小的圆的方程
设圆满足（1）截y轴所得弦长为2（2)被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3：1,在满足（1）（2）的所有圆中,求圆心到直线L：x-2的距离最小的圆的方程
设圆的方程为（x-a)²+（y-b)²=r²
利用垂径定理与等腰直角三角形（圆心角为90°或270°）
可知圆心坐标为（±√r²-1,±√2/2*r)
由于直线为y=x-2
ⅰ当圆心在x轴上方时,圆心坐标为（±√r²-1,√2/2*r)
d=|±√(r²-1)-√2/2*r-2|／√2
利用求根公式求最值,z=(±√(r²-1)-√2/2*r-2)
(z+√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²
½r²-√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0
Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0
4z²+16z+18≥0
ⅱ当圆心在x轴下方时,圆心坐标为（±√r²-1,-√2/2*r)
d=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)／√2
利用求根公式求最值,z=(±√(r²-1)+√2/2*r-2)
(z-√2/2*r+2)²=(±√(r²-1))²
½r²+√2(z+2)r-(z²+4z+5)=0
Δ=2(z+2)²+4×½×(z²+4z+5)≥0
4z²+16z+18≥0
综合ⅰⅱ由于对于任意z值均有4z²+16z+18≥0
对于当z=0时有最小（r＞0)
±√(r²-1)±√2/2*r-2=0
解得r=√2或r=5√2
故a=1,b=1或a=7,b=5(此时可知圆心均在x轴上方）
此时圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=2
或（x-7)²+(y-5)²=50