证明:对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.如何证明?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 21:38:02
证明:对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.如何证明?

证明:对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.如何证明?
证明:对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.
如何证明?

证明:对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小.如何证明?

如上图所示:
OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥BC,OE=OF=OD=r
S三角形ABC=S三角形AOB+S三角形BOC+S三角形AOC
                   =1/2AB*OE+1/2AC*OD+1/2BC*OF

                   =1/2(AB+AC+BC)r

根据三元均值不等式性质a≥0,b≥0,c≥0, (a+b+c)/3≥abc开三次方(当且仅当a=b=c取等号)
可知三角形ABC面积最小的时候就AB+AC+BC取最小值,即当AB=AC=BC时,面积最小.
所以对一个圆做外切三角形,正三角形的面积为最小

由圆心连接切点,r为圆半径
得 S=r*(a+b+c)/2>=r/2*3³√abc
则 当a=b=c时有最小值,3ar/2
此时三角形为等边三角形

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