请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:08:46
请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?

请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?
请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?

请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?
证明：令 x=根号3 +根号5 +根号6 .
假设 x 是有理数,则
根号3 +根号5 =x -根号6 .
两边平方,得
8 +2根号15 =x^2 +6 -(2根号6)x .
即 根号15 =(1/2)x^2 -1 -(根号6)x .
令 y=(1/2)x^2 -1,则 y 是有理数,且
根号15 =y-(根号6)x,
两边平方,得
15 =y^2 +6x^2 -2xy (根号6).
因为 x> 3根号3 >0,
所以 y> (1/2)*27 -1 =25/2 >0.
所以 根号6 =(15 -6x^2 -y^2) /(2xy).
而 (15 -6x^2 -y^2) /(2xy) 是有理数,与 根号6 是无理数矛盾.
所以 假设不成立.
所以 根号3 +根号5 +根号6 是无理数.
= = = = = = = = =
计算可能有误.
如果只是两个根号相加,如根号2 +根号3 ,此方法用起来更简单.

先设a=3^0.5,b=5^0.5,c=6^0.5反证：a+b+c=d为有理数！则（a+c)^2=(d-b)^2。得到9+2ac=d^2+5-2bd。所以d^2+5=9(因为有理部分相同） 得2跟号15=4根号5，显然不成立，得证！

设三边长为a/q,a,aq,则 a/q的平方 a的平方=aq的平方解出a和q的关系较小角的正弦=(a/q)/aq 就可以得出结果

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