作业帮高数--微分方程 求通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:17:11
高数--微分方程 求通解
高数--微分方程 求通解
高数--微分方程 求通解
整理后,均可化为一阶线性方程.
一阶线性方程:y' +yP(x) = Q(x)的通解为:
y = [e^(-∫Pdx)]*{ ∫Q*[e^(∫Pdx)]dx +C}
1.dy/dx = y/(x+y),改写为:dx/dy = x/y +1,dx/dy -x/y =1.
(将x看作是y的函数) :有P=-1/y,Q =1.
-∫Pdy =lny+c1,(可 取c1 =0),[e^(-∫Pdy)]* =y,(对数的性质)
按公式,有:x = y*{∫1*[e^(∫-1/ydy)] dy+C} =y*{∫[e^(-lny)]dy +C} =y*{∫1/y)dy +C}
= y*(lny +C)
即,通解为:x = y *(lny +C).
2.变形为:y' -2xy/(x^2 +1) = x^2 +1.
这里:P=-2x/(x^2 +1),Q = x^2 +1.
-∫Pdx)] = ln(x^2 +1) +c1 (取c1 =0).e^(-∫Pdx)] = x^2 +1 (对数的性质)
e^(∫Pdx)] = 1/(x^2 +1).
y = (x^2 +1)* ∫Q*[e^(∫Pdx)]dx +C}
= (x^2 +1)* {∫(x^2 +1)*[1/(x^2 +1)]dx +C}
=(x^2 +1)* { ∫1*dx +C}
=(x^2 +1)*(x+C)
即,通解为:y = (x^2 +1)*(x+C)