作业帮一道数学题△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交于点O,求AC的长最好在今天晚上答出,急~~谢谢△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 15:30:34
一道数学题△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交于点O,求AC的长最好在今天晚上答出,急~~谢谢△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交
一道数学题△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交于点O,求AC的长
最好在今天晚上答出,急~~谢谢
△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交于点O,求AC的长
一道数学题△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交于点O,求AC的长最好在今天晚上答出,急~~谢谢△ABC的三边AB,BC,CA上的中线分别是CE,AD,BF,且CE=12,AD=9,BF=15,三条中线交
过A点作BC的平行线,过B点作AD的平行线,两线相交于G点,
则四边形GADB是平行四边形,
∴GA=BD,GB=AD=9,
连接EF,则EF是△ABC的中位线,
∴EF=½BC=BD,∴GA=EF,
∴EF∥GA,∴∠GAF=∠EFC,
又F点是AC中点,∴AF=FC,
∴△GAF≌△EFC﹙SAS﹚,
∴GF=EC=12,
在△BGF中,由9²＋12²=15²,
即由勾股定理逆定理得：
△BGF是直角△,且∠BGF=90°,
由∵GB∥AD,GF∥EC,
∴AD⊥EC,∴∠AOC=90°,
由重心定理得：AO∶DO=2∶1,AD=9,
∴AO=6,同理CO=8,
∴由勾股定理得：AC=10.
设AB＝X，BC＝Y，AC＝Z
根据三角形中线的性质：ma=(1/2)√2b²+2c²-a²
则AD＝（1/2）√2X²+2Z²-Y²
BF＝（1/2）√2X²+2Y²-Z²
CE＝（1/2）√2Y²+2Z²-X²
把CE=12,AD=9,...
全部展开
设AB＝X，BC＝Y，AC＝Z
根据三角形中线的性质：ma=(1/2)√2b²+2c²-a²
则AD＝（1/2）√2X²+2Z²-Y²
BF＝（1/2）√2X²+2Y²-Z²
CE＝（1/2）√2Y²+2Z²-X²
把CE=12,AD=9,BF=15,代入得
2X²+2Z²-Y²＝18²＝324 （1）
2X²+2Y²-Z²＝30²＝900 （2）
2Y²+2Z²-X²＝24²＝576 （3）
把（2）-（1）得
3 Y²-3 Z²＝576
Y²-Z²＝192
Y²＝192+Z² （4）
把（2）-（3）得
3X²-3Z²＝324
X²-Z²＝108
X ²＝108+Z² （5）
把（4）、（5）代入（1）得
2（108+Z²）+2Z²-192-Z²＝324
3Z²＝300
Z²＝100
Z＝10
AC＝10
收起
延长OF使OF=FM。连接AM.MC。
∵OF=FM,AF=FC（中线）
∴四边形AOCM为平行四边形。
∵O为重心，CE=12.AD=9.BF=15,
∴OF+FM=BO=10，OC=AM=8，AO=MC=6，
∵OC²+CM²=10²=OM²
∴角OCM为Rt角
∴四边形AOMC为正方形，
∴AC=OM=BO=10