作业帮设数列【an】的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0,有一根为Sn-1,求数列【an】的通项公式.救命!【n-1是下标
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 12:09:43
设数列【an】的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0,有一根为Sn-1,求数列【an】的通项公式.救命!【n-1是下标
设数列【an】的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0,有一根为Sn-1,求数列【an】的通项公式
.救命!【n-1是下标
设数列【an】的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0,有一根为Sn-1,求数列【an】的通项公式.救命!【n-1是下标
因S1=a1,故有
(a1-1)^2-a1(a1-1)-a1=0
解得a1=1/2
及
(1/2+a2-1)^2-a2(1/2+a2-1)-a2=0
解得a2=1/6
同理解得a3=1/12
将Sn-1代入方程x^2-anx-an=0,得
(Sn-1)^2-an(Sn-1)-an=0
将an=Sn-S(n-1)代入上式,得
(Sn-1)^2-[Sn-S(n-1)](Sn-1)-an=0
化简得
SnS(n-1)-2Sn+1=0
[Sn-1+1][S(n-1)-1+1]-2(Sn-1+1)+1=0
(Sn-1)[S(n-1)-1]+(Sn-1)+[S(n-1)-1]+1-2(Sn-1)-2+1=0
(Sn-1)[S(n-1)-1]-(Sn-1)+[S(n-1)-1]=0
[S(n-1)-1]-(Sn-1)=-(Sn-1)[S(n-1)-1]
1/(Sn-1)-1/[S(n-1)-1]=-1
故数列{1/[Sn-1]}为等差数列.
1/[S1-1]=-2
∴1/[Sn-1]=-2+(n-1)*(-1)=-n-1
Sn-1=-1/(n+1)
Sn=n/(n+1)
an=Sn-S(n-1)=n/(n+1)-(n-1)/n=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
a1=1/2满足an
∴an==1/n-1/(n+1)
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