作业帮已知a为整数,求证：（3a+2）一定不是完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:15:25
已知a为整数,求证：（3a+2）一定不是完全平方数
已知a为整数,求证：（3a+2）一定不是完全平方数
已知a为整数,求证：（3a+2）一定不是完全平方数
整数n被3除只有以下三种形式：
n=3k,n^2=9k=3(3k)
n=3k+1,n^2=9k^2+6k+1=3k(3k+2)+1
n=3k-1 n^2=9k^2-6k+1=3k(3k-2)+1
它们的平方只能为3a 或3a+1的形式.所以得证.
证：假设3a+2是一个完全平方数，设3a+2=m^2，m是整数。
（1）当m=3k（k是整数，下同）时，3a+2=(3k)^2=9k^2
a=(9k^2-2)/3=3k^2-2/3
∵k是整数，
∴3k^2是整数，3k^2-2/3一定不是整数，a一定不是整数。...
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证：假设3a+2是一个完全平方数，设3a+2=m^2，m是整数。
（1）当m=3k（k是整数，下同）时，3a+2=(3k)^2=9k^2
a=(9k^2-2)/3=3k^2-2/3
∵k是整数，
∴3k^2是整数，3k^2-2/3一定不是整数，a一定不是整数。与题意矛盾。
（2）当m=3k+1（k是整数）时，3a+2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1
a=(9k^2+6k-1）/3=3k^2+2k-1/3
∵k是整数，
∴3k^2+2k是整数，3k^2+2k-1/3一定不是整数，a一定不是整数。与题意矛盾。
（3）当m=3k+2（k是整数）时，3a+2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4
a=(9k^2+12k+2)/3=3k^2+4k+2/3
∵k是整数，
∴3k^2是整数，3k^2+4k+2/3一定不是整数，a一定不是整数。与题意矛盾。
综上，对所有的整数m，都不满足a是整数。故假设不成立，即不存在这样的完全平方数。
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