作业帮证明不等式:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R)(a,b∈R+)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:13:19
证明不等式:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R)(a,b∈R+)
证明不等式:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R)
(a,b∈R+)
证明不等式:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R)(a,b∈R+)
(1)求证：2/(1/a+1/b)≤√ab
2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
因为a,b∈R+,所以√ab>0
要证明2ab/(a+b)≤√ab
则要证明2√ab/(a+b)≤1
即：2√ab≤（a+b)
因为a-2√ab+b=(√a-√b)^2≥0
所以a+b≥2√ab
即：2√ab≤（a+b)
所以：2/(1/a+1/b)≤√ab
（2）求证：√ab≤(a+b)/2
因为：(a+b)/2-√ab=(a-2√ab+b)/2=[(√a-√b)^2]/2≥0
所以：√ab≤(a+b)/2
（3）求证：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
要证明：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
则需证明(a2+b2+2ab)/4≤(a2+b2)/2
即：a2+b2+2ab≤2(a2+b2)
也即需要证明：2ab≤a2+b2
因为a2+b2-2ab=(a-b)^2≥0
所以2ab≤a2+b2成立
所以：(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2成立
综上所证：2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R+)成立
2/(1/a+1/b)≤√ab
左边=2ab/(a+b) a,b∈R+ a+b>=2√ab
2ab/(a+b)<=2ab/(2√ab)=√ab 所以 2/(1/a+1/b)≤√ab
√ab≤(a+b)/2 均值定理
(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
a,b∈R+ 两边同时平方
要证明(a+b)/2...
全部展开
2/(1/a+1/b)≤√ab
左边=2ab/(a+b) a,b∈R+ a+b>=2√ab
2ab/(a+b)<=2ab/(2√ab)=√ab 所以 2/(1/a+1/b)≤√ab
√ab≤(a+b)/2 均值定理
(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
a,b∈R+ 两边同时平方
要证明(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
只需证明
(a+b)^2/4<=(a^2+b^2)/2
只需证明
（a+b)^2<=2(a^2+b^2)
只需证明
2ab<=a^2+b^2
显然成立
所以
2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2
收起
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a^...
全部展开
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位线，那么
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形，那么
E3F3=√(ab)。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么
E4F4=2/(1/a+1/b)。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。
收起