作业帮已知方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,若k不等于0证明方程x^2+bx+c+k(2x+b)=0也有相异两实数根,且仅有一根在另一方程的两根之间.两根之间怎么证明啊?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:33:31
已知方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,若k不等于0证明方程x^2+bx+c+k(2x+b)=0也有相异两实数根,且仅有一根在另一方程的两根之间.两根之间怎么证明啊?
已知方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,若k不等于0
证明方程x^2+bx+c+k(2x+b)=0也有相异两实数根,且仅有一根在另一方程的两根之间.两根之间怎么证明啊?
已知方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,若k不等于0证明方程x^2+bx+c+k(2x+b)=0也有相异两实数根,且仅有一根在另一方程的两根之间.两根之间怎么证明啊?
1.方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,则deta＝b^2-4c>0,设两根x1,x2,x1
所以方程x^2+bx+c+k(2x+b)=0也有相异两实数根.
因为x1,x2是方程x^2+bx+c=0有相异的两实数根,所以x1^2+bx1+c=0,x2^2+bx2+c=0,且根据韦达定理知,x1+x2=-b,x1x2=c.
f(x1)=x1^2+bx1+c+k(2x1+b)=k(2x1+b)
f(x2)=x2^2+bx2+c+k(2x2+b)=k(2x2+b)
所以f(x1)*f(x2)=k^2(4x1x2+2b(x1+x2)+b^2)=k^2(4c-b^2)<0
根据零点存在性定理知在(x1,x2)中存在一个x0,使f(x0)=0.
根据二次函数的性质可知,只有一个根在（x1,x2）之间.
证明：∵x^2+bx+c=0有相异的两实数根
∴△1=b²-4c＞0
整理x^2+bx+c+k(2x+b)=0得
x²+bx+c+2kx+kb=0
x²+(b+2k)x+(c+kb)=0
△2=(b+2k)²-4(c+kb)=b²+4bk+4k²-4c-4bk=(b²-4c)+4k...
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证明：∵x^2+bx+c=0有相异的两实数根
∴△1=b²-4c＞0
整理x^2+bx+c+k(2x+b)=0得
x²+bx+c+2kx+kb=0
x²+(b+2k)x+(c+kb)=0
△2=(b+2k)²-4(c+kb)=b²+4bk+4k²-4c-4bk=(b²-4c)+4k²
∵k≠0 b²-4c＞0
∴△2＞0
∴方程也有两个不等实根设方程x^2+bx+c=0的两根分别为x1,x2
则x1^2+bx1+c=0x2^2+bx2+c=0令f(x)=x²+(b+2k)x+(c+kb)
则f(x1)=x1²+(b+2k)x1+(c+kb)=x1²+bx1+c+2kx1+kb=k(2x1+b)
同理可求f(x2)=k(2x2+b)f(x1)*f(x2)=k²[4x1x2+2b(x1+x2)+b²]
又x1+x2=-b x1x2=c所以f(x1)*f(x2)=k²(4c-2b²+b²)=k²(4c-b²)<0
(因为x^2+bx+c=0有相异的两实数根
∴△1=b²-4c＞0∴4c-b²<0)
于是方程x²+(b+2k)x+(c+kb)=0有一根必在[x1,x2]之间（这是根的存在性定理）
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