在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 15:56:57

在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC
在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC

在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC
易知cosx及sinx都不为0,则已知式等价于
cos(x+A)/cosx*cos(x+B)/cosx*cos(x+C)/cosx+1=0
等价于
(cosA-tanxsinA)(cosB-tanxsinB)(cosC-tanxsinC)+1=0
等价于
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=1/(sinAsinBsinC)
下证1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA):
右边等价于
(cotA+cotB+cotC)(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)-cotAcotBcotC
又由三角形中的三角恒等式
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
知右边等价于
cotA+cotB+cotC-cotAcotBcotC
等价于
(cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC)/(sinAsinBsinC)
因此只需证
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC=1
而事实上
cosAsinBsinC+cosBsinCsinA+cosCsinAsinB-cosAcosBcosC
=cosA(sinBsinC-cosBcosC)+sinA(cosBsinC+cosCsinB)
=cos²A+sin²A
=1
成立,所以1/(sinAsinBsinC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)式得证.
因此得到
(tanx-cotA)(tanx-cotB)(tanx-cotC)=(cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA)
等价于
(tan²x+cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
再次利用那个恒等式,即等价于
(tan²+1)(tanx-(cotA+cotB+cotC))=0
因此必有
tanx=cotA+cotB+cotC

在△ABC中,cos三次方x+cos(x+A)cos(x+B)cos(x+C)=0,求证tanx=cotA+cotB+cotC (cos(x/2))三次方的导数 y=cos分之x的三次方,求dy cotX = cosX × sinX + cos三次方X × cscX 求证 4cos三次方x-3cosx为什么化成cos3x sin的三次方x+cos的三次方x=1,求sinx+cosx 已知sinx+cosx=1/2,则sin三次方x-cos三次方x=? 函数f(x)=cos三次方x+sin方x-cosx在【0,2π】上的最大值 sin三次方x+cos三次方xtanx-sinx=0谁帮我、快啊! 判断f(x)=cos(2π-x)-x的三次方sinx的奇偶性在三角形ABC中,sinA加cosA等于5分之1 .求sin的三次方A减去cos三次方A的值? 下列函数中,是偶函数又在(0,1)上单调递增的函数是A y=|log3X| B y=x三次方 C y=e的|x|次方 D y=cos|x| cos x cos x 在△ABC中,3边a b c成等比数列,设f(x)=2sin(x/2)cos(x/2)+2cos²在△ABC中,3边a b c成等比数列,设f(x)=2sin(x/2)cos(x/2)+2cos²(x/2). 求f(x.)对称轴方程和单减区间..角B的取值范围已知函数f(x)=2倍的cosx的平方加上二倍根号三sinxcosx在三角形ABC中若f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C) 求tanA的值求sin^3xdcos^3x在0到pi/2上的积分.sin和cos的三次方. 求sin^3xdcos^3x在0到pi/2上的积分.sin和cos的三次方.