已知圆M:x2+(y+2)2=4和抛物线C:x2=2py(p>0).抛物线C上纵坐标为2的点到焦点的距离为6.过圆M上一点P（x0,y0)作抛物线C的两切线,切于A,B两点.（1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点P,使AM⊥BM（M为圆心）?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 09:49:03

已知圆M:x2+(y+2)2=4和抛物线C:x2=2py(p>0).抛物线C上纵坐标为2的点到焦点的距离为6.过圆M上一点P（x0,y0)作抛物线C的两切线,切于A,B两点.（1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点P,使AM⊥BM（M为圆心）?
已知圆M:x2+(y+2)2=4和抛物线C:x2=2py(p>0).抛物线C上纵坐标为2的点到焦点的距离为6.过圆M上一点P（x0,y0)作抛物线C的两切线,切于A,B两点.
（1)求抛物线C的方程；
(2)是否存在点P,使AM⊥BM（M为圆心）?若存在,求yo的值；若不存在,说明理由.

已知圆M:x2+(y+2)2=4和抛物线C:x2=2py(p>0).抛物线C上纵坐标为2的点到焦点的距离为6.过圆M上一点P（x0,y0)作抛物线C的两切线,切于A,B两点.（1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点P,使AM⊥BM（M为圆心）?
抛物线C上纵坐标为2的点到焦点的距离为6
则该点到准线的距离为6.
即该点的横坐标+p/2=6.
√(4p)+p/2=6.
解得p=4.
因此C:x^2=8y.
设A(x1,y1) B(x2,y2)
A处切线为y=1/4 *x1*(x-x1)+y1=1/4 *x1*x-1/8 *x1^2.
因为P在切线上,所以y0=1/4 *x1*x0-1/8 *x1^2.
同理y0=1/4 *x2*x0-1/8 *x2^2.
因此x1、x2是方程1/8 *x^2-1/4 *x0*x+y0=0的2个根.
该方程也就是x^2-2x0*x+8y0=0.
因此x1+x2=2x0,x1x2=8y0.
AM⊥BM则x1*x2+(y1+2)(y2+2)=0.
即x1x2+(x1^2/8+2)(x2^2/8+2)=0.
8y0+y0^2+4+1/4 *(x1^2+x2^2)=0.
y0^2+8y0+4+1/4 *((2x0)^2-16y0)=0.
x0^2+y0^2+4y0+4=0.
x0^2+(y0+2)^2=0.
但(x0,y0)满足x0^2+(y0+2)^2=4.不满足上式.
因此不存在题意中的P.

有示意图吗

有

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有示意图吗

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