设x,y为正数,则(x+y)(1/x+4/y)的最小值为多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 00:27:57
设x,y为正数,则(x+y)(1/x+4/y)的最小值为多少?

设x,y为正数,则(x+y)(1/x+4/y)的最小值为多少?
设x,y为正数,则(x+y)(1/x+4/y)的最小值为多少?

设x,y为正数,则(x+y)(1/x+4/y)的最小值为多少?
(x+y)(1/x+4/y)
=1+4x/y+y/x+4
=5+4x/y+y/x
≥5+2√(4x/y×y/x)
=9
当x,y为正数时,有x+y≥2√xy

(x+y)(1/x+4/y)=1+4x/y+y/x+4>=5+2√(4x/y*y/x)=9
最小值为9

一楼正解

1楼对的·· 我又做错了··

(x+y)(1/x+4/y)
=1+4x/y+y/x+4
=5+4x/y+y/x
≥5+2√(4x/y×y/x)
=9
当x,y为正数时,有x+y≥2√xy

(x+y)(1/x+4/y)
=1+4x/y+y/x+4
≥5+2倍根号下(4x/y*y/x)
=5+4=9(当且仅当4x/y=y/x,即x=1,y=2时等号成立)
所以最小值为9

将上式解开可得
1+(4X/Y)+(Y/X)+4

5+(4X/Y)+(Y/X)
因为X Y都是正数
所以
(4X/Y)+(Y/X)>=2((4x/y)(y/x))^1/2

(4X/Y)+(Y/X)>=4
所以原式的最小值为5+4=9