作业帮已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,向量AF1与AF2的乘积为c^2,则椭圆的离心率e=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 00:53:49
已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,向量AF1与AF2的乘积为c^2,则椭圆的离心率e=
已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,向量AF1与AF2的乘积为c^2,则椭圆的离心率e=
已知椭圆 x2/a2＋y2/b2＝1上任意一点A ,F1和F2为左右焦点,向量AF1垂直于F1F2,向量AF1与AF2的乘积为c^2,则椭圆的离心率e=
由条件得三角形AF1F2为直角三角形,AF1垂直F1F2
设AF1=x,则AF2=2a-x
有条件两向量乘积为c^2得x(2a-x)*x/(2a-x)=x^2=c^2,则x=c
所以AF1=c,AF2=2a-c
又F1F2=2c,在直角三角形中有AF1^2+F1F2^2=AF2^2
所以c^2+(2c)^2=(2a-c)^2
整理得c^2+ac-a^2=0,同除以a^2得
e^2+e-1=0
所以解得e=（-1+√5）/2(另一解舍去)
结果为：e =(-1+√5)／2 计算如下：
AF1方程为x=-c，联立椭圆方程x2/a2＋y2/b2＝1，得到A1纵坐标为y=b^2／a
因为向量AF1垂直于F1F2，则向量AF1与AF2的乘积为AF1长度的平方即y^2,
即有y^2=c^2，
化简得a^4-b^4-a^2*b^2 = 0，等式两边同时除以a^4，
然后用换元法 令(b／a)^2=t，化...
全部展开
结果为：e =(-1+√5)／2 计算如下：
AF1方程为x=-c，联立椭圆方程x2/a2＋y2/b2＝1，得到A1纵坐标为y=b^2／a
因为向量AF1垂直于F1F2，则向量AF1与AF2的乘积为AF1长度的平方即y^2,
即有y^2=c^2，
化简得a^4-b^4-a^2*b^2 = 0，等式两边同时除以a^4，
然后用换元法 令(b／a)^2=t，化为t^2+t-1=0,得t=(-1+√5)／2 （另一解为负，舍去）
则e=c／a=√[1-(b／a)^2]=√（1-t）=√t^2=(-1+√5)／2
收起
∵向量AF1垂直于F1F2
∴cos∠F1AF2=|AF1|/|AF2|
则向量AF1与AF2的乘积为：
|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2=|AF1|^2
|AF1|^2=c^2
即：|AF1|=c
则：|AF2|=2a-|AF1|=2a-c
而：|F1F2|=2c
△AF1F2是直角三角形
∴|AF1|^2+|F1...
全部展开
∵向量AF1垂直于F1F2
∴cos∠F1AF2=|AF1|/|AF2|
则向量AF1与AF2的乘积为：
|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2=|AF1|^2
|AF1|^2=c^2
即：|AF1|=c
则：|AF2|=2a-|AF1|=2a-c
而：|F1F2|=2c
△AF1F2是直角三角形
∴|AF1|^2+|F1F2|^2=|AF2|^2
c^2+(2c)^2=(2a-c)^2
整理，得：c^2+ac-a^2=0
两边同时除以a^2，得：
(c/a)^2+c/a-1=0
即：e^2+e-1=0
e>0
解得：e=(-1+√5)/2
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