作业帮6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________求K的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:19:07
6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________求K的最大值
6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________
求K的最大值
6.设任意实数 ,要使不等式 恒成立,则 的最大值__________求K的最大值
用底e,进行换底
ln2001/ln(x0/x1)+ln2001/ln(x1/x2)+ln2001/ln(x2/x3)>=kln2001/ln(x0/x3)
消去ln2001>0,利用ln(a/b)=lna-lnb
得到
1/[ln(x0)-ln(x1)]+1/[ln(x1)-ln(x2)]+1/[ln(x2)-ln(x3)]>=k/[ln(x0)-ln(x3)]
利用调和平均不等式 (a+b+c)/3>=3/(1/a+1/b+1/c)
1/[ln(x0)-ln(x1)]+1/[ln(x1)-ln(x2)]+1/[ln(x2)-ln(x3)]
>=9[[ln(x0)-ln(x1)]+[ln(x1)-ln(x2)]+[ln(x2)-ln(x3)]]
>=9*[ln(x0)-ln(x3)]
等号成立时
[ln(x0)-ln(x1)]=[ln(x1)-ln(x2)]=[ln(x2)-ln(x3)]
即x0/x1=x1/x2=x2/x3
k最大值=9
应该是换底公式，知
1/logx0/x1+1/logx1/x2+1/logx2/x3
〉=k/logx0/x3
也就是1/a+1/b+1/c>=k/a+b+c （*）
恒成立
所以k=9 用到几何平均值小于算数平均值
在a=b=c时成立
例如x0=16 x1=8 x2=4 x3=2时不等式取等号
k=9 也可通过（*）式左右两边同乘...
全部展开
应该是换底公式，知
1/logx0/x1+1/logx1/x2+1/logx2/x3
〉=k/logx0/x3
也就是1/a+1/b+1/c>=k/a+b+c （*）
恒成立
所以k=9 用到几何平均值小于算数平均值
在a=b=c时成立
例如x0=16 x1=8 x2=4 x3=2时不等式取等号
k=9 也可通过（*）式左右两边同乘a+b+c 得到
对不起，高中的东西不太记得了，乱写了两次
收起