若关于x的方程x2+zx+4+3i=0有纯虚数根,求|z|的最小值?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 07:56:00
若关于x的方程x2+zx+4+3i=0有纯虚数根,求|z|的最小值?

若关于x的方程x2+zx+4+3i=0有纯虚数根,求|z|的最小值?
若关于x的方程x2+zx+4+3i=0有纯虚数根,求|z|的最小值?

若关于x的方程x2+zx+4+3i=0有纯虚数根,求|z|的最小值?
x²+zx+4+3i=0有纯虚数根
设纯虚数根为ai,a≠0【等于零就为实数了】
将ai带入x²+zx+4+3i=0
得-a²+zai+4+3i=0
所以z=(a²-4-3i)/(ai)
=-ai+(4/a)i+3/a
=3/a+(4/a-a)i
所以|z|=√(9/a²+16/a²-8+a²)
=√(a²+25/a²-8)
≥√(2√25+8)
=√18
=3√2
当且仅当|a|=√5时等号成立
所以|z|的最小值为3√2