A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 17:03:16

A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B

A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
我们一步一步来.
首先对于实数域上的列向量X,有X'X ≥ 0,且等号成立当且仅当X = 0.
由这一点我们可以证明,对实矩阵B,有B'B的秩R(B'B) = B的秩R(B).
方法是考虑两个线性方程组BX = 0与B'BX = 0,证明二者其实是同解的,于是系数矩阵的秩相等.
一方面BX = 0,自然有B'BX = B'(BX) = 0,另一方面B'BX = 0,有(BX)'BX = X'B'BX = 0,也有BX = 0.
有了上面两个结论,我们可以证明原题的充分性.
A是半正定的,因为对任意X,有X'AX = X'B'BX = (BX)'BX ≥ 0.A的秩为r,因为R(A) = R(B'B) = R(B).
必要性,A是秩为r的半正定矩阵,因此存在可逆矩阵P,使标准型C合同变换为A.
即有A = P'CP,而C为对角线上为r个1和n-r个0的对角阵.
我们取D为r×n的矩阵,具有分块形式(E 0),则R(D) = r,且D'D = C,于是A = P'D'DP = (DP)'DP.
取r×n矩阵B = DP,有A = B'B,且由P可逆,R(B) = R(D) = r.B满足条件.

A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 求证,多谢! A、B是n阶实对称正定矩阵,求证：若A-B正定,则B的逆矩阵-A的逆矩阵正定实对称矩阵A正定的充要条件是A的伴随矩阵为正定的,为什么? 有关正定矩阵的问题设A为n阶对称矩阵,证明:A满秩的充要条件是存在实矩阵B,使AB+B-TA为正定矩阵. 已知:A为n阶实正定对称矩阵,B为n阶反实对称矩阵证:det(A+B)> 0 B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵. 关于正定矩阵的急设A为n阶实对称矩阵证明 B=I+A的平方为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为正定矩阵的充要条件是B的特征值都大于零 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指教, 线性代数中关于正定矩阵的一道题设A是n阶实对称矩阵,AB+B的转置乘A是正定矩阵,证明A可逆. 设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B| 设A,B是n阶正定矩阵,则AB是：A.实对称矩阵．B.正定矩阵．C.可逆矩阵．D.正交矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵 D正交矩阵 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件A.A^-1 为正定矩阵B A的所有k阶子式大于零C A的秩为n 线性代数若n阶对称矩阵A是正定矩阵,那么A的秩一定为n吗?为什么呢? 请问：A,B均为n阶实对称矩阵,且都正定,那么AB一定是：A对称矩阵B正定矩阵C可逆矩阵D正交矩阵为什么正确及为什么不正确. A是n阶正定矩阵,证明A的n次方矩阵也是正定矩阵如果A是n阶正定矩阵,B是n阶实反对称矩阵,证明 A-BTB是正定矩阵.