作业帮一个数列问题的证明题设各项均为正的等差数列与等比数列分别为a,a+d,a+2d,...a+nd,...与a,ax,ax^2,...ax^n,...,且存在正整数n0使得两数列的第n0+1项相等.求证：该等差数列前n0+1项之和大于该等比数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:53:50
一个数列问题的证明题设各项均为正的等差数列与等比数列分别为a,a+d,a+2d,...a+nd,...与a,ax,ax^2,...ax^n,...,且存在正整数n0使得两数列的第n0+1项相等.求证：该等差数列前n0+1项之和大于该等比数列
一个数列问题的证明题
设各项均为正的等差数列与等比数列分别为a,a+d,a+2d,...a+nd,...与a,ax,ax^2,...ax^n,...,
且存在正整数n0使得两数列的第n0+1项相等.求证：该等差数列前n0+1项之和大于该等比数列前n0+1项之和.
一个数列问题的证明题设各项均为正的等差数列与等比数列分别为a,a+d,a+2d,...a+nd,...与a,ax,ax^2,...ax^n,...,且存在正整数n0使得两数列的第n0+1项相等.求证：该等差数列前n0+1项之和大于该等比数列
由数列各项均为正可知公差d＞0,数列递增,而等差数列n0＋1项与等比数列n0＋1项相等,可知公比x＞1.等差数列前n0＋1项和S1=a(n0＋1)＋(n0＋1)n0d/2.等比数列前n0＋1项和S2=a(1－x^n0)/(1－x),a＋(n0＋1)d=ax^(n0＋1),S1－S2=a(n0＋1)＋[ax^(n0＋1)－a]n0/2－a(1－x^n0)/(1－x)＝a[n0＋2＋x^(n0＋2)/(x－1)]＞0,所以S1＞S2
答：此题最佳方法是用函数观做图像解决。由等差数列通项公式可看成是N的一次函数，在各项为正的条件下，等比数列图像是指数函数形式的图像。
从本题来看，公比必大于1（因为是无穷数列），图像的证明非常直观！
f(n)=a1n+n(n-1)d/2
f(x)=a[1-x^(n-1)]/(1-x)
即当a1+nd=a1x^n时
f(n)>f(x)
f(n)/f(x)=[2a1n+n(n-1)d](1-x)/[2*a1(1-x^(n-1))]
若要存在n0则1
a1n+n(n-1)d>0
所以分子小于0
由于...
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f(n)=a1n+n(n-1)d/2
f(x)=a[1-x^(n-1)]/(1-x)
即当a1+nd=a1x^n时
f(n)>f(x)
f(n)/f(x)=[2a1n+n(n-1)d](1-x)/[2*a1(1-x^(n-1))]
若要存在n0则1
a1n+n(n-1)d>0
所以分子小于0
由于x趋于1，1-x^(n-1)趋于0-
所以分母趋于于0-
所以商一定大于2。这就证明了f(n)>f(x)
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