作业帮用混合积的几何意义证明三向量共面的充分必要条件是?题在这里:
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:03:38
用混合积的几何意义证明三向量共面的充分必要条件是?题在这里:
用混合积的几何意义证明三向量共面的充分必要条件是?
题在这里:
用混合积的几何意义证明三向量共面的充分必要条件是?题在这里:
给你一个参考地址：
http://218.94.6.203/courses/%B8%DF%C6%F0%B1%BE/%B9%AB%B9%B2%BB%F9%B4%A1%BF%CE%B3%CC/%B8%DF%B5%C8%CA%FD%D1%A7B%A3%A8%C9%CF%A3%A9%B5%DA%B6%FE%B0%E6/webcourse/JiChuPian/JiBenNeiRong/ch7/le704.htm
在这个网页的最后,证明了向量的混合积等于你的题目中所描述的行列式.这样的话,行列式的值是0,相当于
(axb)c=0(a,b,c都是向量)
分析这个式子的几何意义
axb表示以向量a,b为基底的平面p的法向量n,n点乘c=0
说明c与平面p平行,由向量平行的定义知,a,b,c向量共面.
就是A矢量点乘（B矢量叉乘C矢量）
B矢量叉乘C矢量的结果是得到一个垂直于B,C张成的面的矢量D，如果A垂直于D，那么就意味着A,B,C共面。
你把行列式里的ax,ay,az换成i,j,k矢量，得到的就是矢量D，再用A点乘D,你自然发现你题目里的行列式就是[A矢量点乘（B矢量叉乘C矢量）]
若它为0，就是A,B,C共面了...
全部展开
就是A矢量点乘（B矢量叉乘C矢量）
B矢量叉乘C矢量的结果是得到一个垂直于B,C张成的面的矢量D，如果A垂直于D，那么就意味着A,B,C共面。
你把行列式里的ax,ay,az换成i,j,k矢量，得到的就是矢量D，再用A点乘D,你自然发现你题目里的行列式就是[A矢量点乘（B矢量叉乘C矢量）]
若它为0，就是A,B,C共面了
收起
n个无关向量的行列式，等于这n个向量的端点和原点组成的那个多面体
的（有向）体积V(v1,...vn)。理由如下：
设前n-1个向量张成的低一维子空间是S。n=3时，S就是一个平面。第n
个向量vn可以分解成两部分vn = vn1 + vn2，其中vn1属于S，vn2垂直
于S。因为体积等于底面积乘以高，所以vn1对体积没有贡献。就是说，
V(v1,...,...
全部展开
n个无关向量的行列式，等于这n个向量的端点和原点组成的那个多面体
的（有向）体积V(v1,...vn)。理由如下：
设前n-1个向量张成的低一维子空间是S。n=3时，S就是一个平面。第n
个向量vn可以分解成两部分vn = vn1 + vn2，其中vn1属于S，vn2垂直
于S。因为体积等于底面积乘以高，所以vn1对体积没有贡献。就是说，
V(v1,...,vn)=V(v1,...,vn2)。同样的，行列式函数det(v1,...,vn)具
有同样的性质。在单位正交基上，这两个函数V和det给出同样的值1。
且这两函数都是多线性的（对每个向量都是线性的）。简单的代数推理
可以证明，这些性质（多线性，反对称，单位）唯一的确定了这个函数
。就是说V=det.
3维空间中，3个向量的混合积(v1xv2)*v3很容易证明是V(v1,v2,v3)。
这是因为v1xv2是长度是v1,v2张成的平行四边形面积，方向与这平行四
边形垂直。与v3的内积刚好是“底面积乘以高”。事实上，混合积也是
满足多线性，反对称，在单位正交基上取1，所以混合积也等于det.
有了这个几何意义你的所有问题都解决了。
收起