作业帮将2,3,4,5,n(n大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两树之和都不是完全平方数,那么,整数n可以取得的最大值是-------
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:28:06
将2,3,4,5,n(n大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两树之和都不是完全平方数,那么,整数n可以取得的最大值是-------
将2,3,4,5,n(n大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两树之和都不是完全平方数,那么,整数n可以取得的最
大值是-------
将2,3,4,5,n(n大于4的整数)分成两组,使得每组中任意两树之和都不是完全平方数,那么,整数n可以取得的最大值是-------
{2,3,4,5.n}为了将这些分成两组,使得每组中任意两数之和都不是完全数,那么将某一平方数表示成两个数的之后,这两个数必不能分在同一组.比如9=2+7,那么2、7必须要分在不同的组.
我们假设分成的这两组数是
A={a1,a2,.ai}
B={b1,b2,.bj}
那么必有 ak ∈ A,而m^2-ak≠ak时,必有 {m^2-ak} ∈ B (其中m=2,3,4,5.)
同样地,也必有 bk∈B时,而m^2-bk≠bk时,必有 {m^2-bk} ∈A (m=2,3,4,5.)
这样,不失一般性,我们假设2分在A组,即 a1=2
那么 {m^2-2} ∈ B
b1=3^2-2=7
b2=4^2-2=14
b3=5^2-2=23
同样地,当 b1=7时 {m^2-7} ∈A,即
{4^2-7,5^2-7,6^2-7.} ∈B
这样,我们有：
A={2,9,18,29,11,4,13,6,8,15,20,22,24,26...}
B={7,14,23,34,5,12,3,10,16,17,19,21,25,27,.}
在分配2---27的时候都是能分开的,到n=28时,一方面28+8=36,而8 ∈A,所以 28应该 ∈ B,另一方面,28+21=49,而 21 ∈B,所以28应该A,这样无论28在A还是B,都会出现两个数的和是平方数,所以n=27就是最大值.
而且这种分组方案是不可调整的,就是说,无论从A取什么数到B,B中都会出现两个数的和是完全平方数,同样地,也不能从B中取某数到A中.
所以,n的最大值是 27
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