设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0(向量),求四面体OBCD与ABCD体积比

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 00:56:13
设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0(向量),求四面体OBCD与ABCD体积比

设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0(向量),求四面体OBCD与ABCD体积比
设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0(向量),求四面体OBCD与ABCD体积比

设O是四面体内一点且有 OA+2OB+3OC+4OD=0(向量),求四面体OBCD与ABCD体积比
用混合积.知:
ABCD的体积Va=(1/6)| [AB AC AD] |
OBCD的体积Vo =(1/6)| [OB OC OD] |
记OA =a,OB = b,OC= c,OD= d.
有:AB=AO+OB =b-a,AC= c-a,AD =d-a.
故:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a] 按性质它可分成8个混合积之和,
但凡有重复因子的其值为0.故有:
:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a]+[b c d]
又由已知,得:-a =2b+3c+4d,
有::[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a] +[b c d]
= [(2b+3c+4d ) c d]+ [b (2b+3c+4d ) d] + [b c (2b+3c+4d )] +[b c d]
再依性质拆分,并注意有重复因子的项为0,
得:[AB AC AD] =[b-a c-a d-a]= [-a c d]+ [b -a d] + [b c -a] +[b c d]
= [(2b ) c d]+ [b (3c ) d] + [b c (4d )] +[b c d]
=2[b c d] + 3[b c d] + 4[b c d] +[b c d]= 10[b c d] =10[OB OC OD]
得Va=(1/6)|[AB AC AD]|=(1/6)*10|[OB OC OD] | = 10*Vo
即:四面体OBCD与ABCD体积比为:1:10

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