作业帮四个平面,最多可以把空间分成几部分?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:25:01
四个平面,最多可以把空间分成几部分?
四个平面,最多可以把空间分成几部分?
四个平面,最多可以把空间分成几部分?
这个问题等价于：一个西瓜切4刀,假设在此过程中西瓜不散落,则最多可以切成几块?
前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题,第4刀怎么切呢?要得到最多的块数,应该尽可能切到前8块,所以切法应该区别于前3刀的方向,即斜切,但总有1块切不到,所以答案为8×2-1=15
15个。联想三棱锥
最多可以分成15份。
最多可以分成15份
先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相交，有n-1个交点，这n-1个交点最多把第n条直线分成n段，这样第n条直线就把原来的平面多分成了n个部分，所以有 f(n)=f(n-1)+n (n>=2)通过计算求得 f(n)=n(n+1)/2+1=C(n+1,2)+1 -----(I)
(2...
全部展开
先来解决一个问题：n条直线最多把平面分成几个部分呢？不妨记为f(n),易得f(1)=2,f(2)=4,f(3)=7,第n条直线与前n-1条直线两两相交，有n-1个交点，这n-1个交点最多把第n条直线分成n段，这样第n条直线就把原来的平面多分成了n个部分，所以有 f(n)=f(n-1)+n (n>=2)通过计算求得 f(n)=n(n+1)/2+1=C(n+1,2)+1 -----(I)
(2)设n个平面最多能把空间分成g(n)部分,易得
g(1)=2 g(2)=4 g(3)=8 g(4)=15
第n个平面与前面n-1平面两两相交，有n-1条直线，这n-1条直线最多把第n个平面分成 f(n-1)个部分，每一部分就把原来的空间多分成了一部分，所以有 g(n)=g(n-1)+f(n-1) n>=2 -----(II)
利用递推公式（II)公式（I）可得：
g(n)=g(1)+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
=C(2,2)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1
=C(3,3)+C(3,2)+…+C(n,2)+n+1
=C(4,3)+C(4,2)+…+C(n,2)+n+1
…
=C(n+1,3)+n+1
收起