作业帮怎么理解向量组的线性相关,不要复制的,要自己的理解.有关的定义理论看的很多,看的云里雾里的.就是想知道一些实质性的东西.其实质上是说明了什么问题或解决什么问题?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 17:50:32
怎么理解向量组的线性相关,不要复制的,要自己的理解.有关的定义理论看的很多,看的云里雾里的.就是想知道一些实质性的东西.其实质上是说明了什么问题或解决什么问题?
怎么理解向量组的线性相关,不要复制的,要自己的理解.有关的定义理论看的很多,看的云里雾里的.
就是想知道一些实质性的东西.其实质上是说明了什么问题或解决什么问题?
怎么理解向量组的线性相关,不要复制的,要自己的理解.有关的定义理论看的很多,看的云里雾里的.就是想知道一些实质性的东西.其实质上是说明了什么问题或解决什么问题?
这个问题源自于对线性方程组的讨论,主要是为了分析在一组方程中是否有多余的方程,是否有矛盾的方程,如果更进一步还要讨论有多少个独立的方程.
粗糙地讲,解n个未知数就至少要列n个方程,有时甚至需要更多（数学家很早就知道这个情况,但不容易讲清楚）.但对于给定的线性方程组,一般来讲并不容易直接看出是否有冗余或者矛盾,这要通过消元法来确定.线性相关性描述的就是加减消元过程中是否出现某些“不合理”的方程或者“没用”的方程,至少可以把线性的方程组完全讨论清楚.
比如说,分析一下
x+y=0,y+z=0,z+x=1
或
x+y=0,y+z=0,z+x=0
就可以对此有些理解.
当然更细致地还需要分析具体哪些方程是有用的,这些可以在线性相关的基础上进一步讨论（看线性代数里面“秩”的概念）.
为了理解这个问题还可以从解析几何来看.
如果“运气不太坏”的话：
随机取两个点,这两个点应该不重合；
随机取三个点,这三个点应该构成三角形；
随机取四个点,这四个点应该构成四角形；
……
但是“运气不好”的情况就越来越复杂了.
两个点的退化情形是重合；
三个点的退化情形既可能是有重合,也可能是两两不重合的三点共线；
四个点的退化情形除了上述情况,还可以是更一般的四点共面；
……
可以看出,从几何上讨论退化的情形是非常麻烦的.
再引进一下坐标
二维向量(a1,b1)和(a2,b2)线性相关(a1,b1)和(a2,b2)这两个方向共线（同方向或者反方向,当然还有其中出现零向量的情况）.
如果要讨论地稍微清楚一点可以再引进原点,把向量由方向转化成点,那么
(a1,b1)和(a2,b2)线性相关(0,0)、(a1,b1)和(a2,b2)这三个点不构成三角形.
这样就和前面的几何问题联系起来了.类似地可以继续讨论高维的向量,这样一来就建立了线性相关的几何意义.
这样讨论下去会非常复杂,随着变量个数增加几何上的分类会越来越多,所以需要比较简洁的方式来描述.到这里为止看上去新概念并不见得简化问题,只是把“不能构成三角形”这句话用代数的语言翻译了一下.但实际上一旦需要更细致地讨论“不能构成三角形”的情况,用代数语言来描述就可以减弱对几何想象力的依赖,而完全转化成计算.通过c1x1+c2x2+...+ckxk=0的方式来描述线性相关性,简单一点讲就只需要关心(c1,c2,...,ck)有/没有非零解的问题.而当必要的时候对于具体的(c1,c2,...,ck)的结构还可以利用秩进一步讨论,比纯几何的方式有更大的余地.所以新概念的作用主要把问题量化,不仅给出精确叙述,而且为细致的分析提供工具.