急,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.（1）求二面角S-C

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:18:17

急,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.（1）求二面角S-C
急,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.
（1）求二面角S-CM-A的大小
（2）求点B到平面SCM的距离
图麻烦自己画一下,很快就出来了,

急,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC的,且SA=SC=2根号2,M为AB中点.（1）求二面角S-C
：（Ⅰ）取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB 平面SDB,
∴ACAC⊥SB
∵AC⊥平面SDB,AC 平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,过E作EF⊥CM于F,连结NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE‖SD.
∵SN=NB,∴NE= SD= = = ,且ED=EB.
在正△ABC中,由平几知识可求得EF= MB= ,
在Rt△NEF中,tan∠NFE= =2 ,
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2 .
（2）在Rt△NEF中,NF= = ,
∴S△CMN= CM•NF= ,S△CMB= BM•CM=2 .
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴ S△CMN•h= S△CMB•NE,
∴h= .即点B到平面CMN的距离为 .

全部展开

先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：
A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1，根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量AC =（-4，0，0），向量SB =（0，2 ，2 ），则向量AC• 向量SB=（-4，0，0）•（0，2 ，2 ）=0由此命题得证证明：
（1）由上面可知：向量CM=（3，根号3 ，0），向量MN=（-1，0，根号2）.
设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有：
向量CM•向量n =3x+根号3 y=0，向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0
取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，
∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，
又向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量，
∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .
∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(2)由（1）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3

收起

N从哪里来的呀？