用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 07:04:40
用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.
用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.

用可积准则证明:若函数f在【a,b】上可积,则f^2在【a,b】上也可积.
首先,f可积则f有界,设|f|<=M.
于是对任意的x,y有|f^2(x)-f^2(y)|=|f(x)+f(y)|*|f(x)-f(y)|<=2M*|f(x)-f(y)|.
此不等式说明对区间【a,b】的任意分划下,
在每一个小子区间上函数f^2的振幅<=2M*函数f的振幅,
因此对任意的e>0,由f可积,存在d>0,只要分划的模就有:求和(i=1到n)wi(f)dxiwi(f)表示f在[x(i-1),xi]上的振幅,dxi是其长度.
于是有
求和(i=1到n)wi(f^2)dxi
<=求和(i=1到n)2M*wi(f)*dxi
故f^2可积.

可积要说清楚是什么可积。你这里是黎曼可积!

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