作业帮如果一个函数的导函数为奇函数,那么原函数为偶函数嘛?还是奇函数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:43:13
如果一个函数的导函数为奇函数,那么原函数为偶函数嘛?还是奇函数?
如果一个函数的导函数为奇函数,那么原函数为偶函数嘛?还是奇函数?
如果一个函数的导函数为奇函数,那么原函数为偶函数嘛?还是奇函数?
已知：F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-A,A),A为常数
求证：F(-x)=F(x)
证明：当x∈(-A,A),A为常数,
令x=任意t,t∈(-A,A),A为常数,
∵F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x)
∴F(-t)
=∫[下限-A,上限-t]F'(-t)
=∫[下限-A,上限-t]f(-t)
=∫[下限-A,上限-t][-f(t)]
=-∫)=∫[下限-A,上限-t]f(t);
而F(t)
=∫[下限-A,上限t]F'(t)
=∫[下限-A,上限t]f(t)
=∫[下限-A,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x)
{∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0}
=∫[下限-A,上限-t]f(t)
∴F(-x)=F(x)得证
所以,导函数是奇函数则原函数是偶函数.
如果要通俗证明的话可以利用函数图像的性质.
比如,做一个以原点对称的任意奇函数图形,它在定义域内与x轴围成的面积就是其原函数的函数图形.
由于x轴下方的面积是为负,而函数图像是关于原点对称的,也就是说[a,o]与[0,a]（a属于定义域）范围内的图像总是分处在x轴的上下两边,并且面积是相等的.因此,这两块面积相加的和总是等于零.
原函数取某个值的图像是从定义域左端到定义域上某点（x)范围内图形的面积,而从x到-x范围,图像的面积为零.因此,原函数取某个值（x)的图像面积等于它取（－x)的图像的面积.这意味着原函数在这两点上是等值的.由于x是任意取的值,因此,可以说明图像上所有点都具有这个性质,即图像面积关于y轴对称.
这样,就可以证明原函数是偶函数.
原函数是偶函数
一定是偶函数!不可能是奇函数
不好说
比如f(x)=x^2,导数 2x 原函数为偶
f(x)=x,导函数1 ,原函数奇