作业帮已知△ABC的三边长分别为abc且abc满足3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方,说明该三角形是等边三角
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:12:50
已知△ABC的三边长分别为abc且abc满足3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方,说明该三角形是等边三角
已知△ABC的三边长分别为abc且abc满足3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方,说明该三角形是等边三角
已知△ABC的三边长分别为abc且abc满足3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方,说明该三角形是等边三角
证：
3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2
3(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a
a=b=c
三角形三边长相等,三角形为等边三角形.
3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b,a=c,b=c
a=b=c
3(a的平方+b的平方+c的平方)=(a+b+c)的平方
3(a的平方+b的平方+c的平方)=a的平方+b的平方+c的平方+2ab+2bc+2ac
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
a-b=0 a-c=0 b-c=0
a=b=c
所以是等边三角形
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a=b=c
(a+b+c)平方=a平方+b平方+c平方+2ab+2ac+2ca；
所以3(a平方+b平方+c平方)=a平方+b平方+c平方+2ab+2ac+2ca；
两遍消掉化简之后得到：a平方+b平方+c平方-ab-bc-ca=0；
等式两边同时乘以2：
2a平方+2b平方+2c平方-2ab-2bc-2ca=0；
拆开重新排列：
(a平方+b平方-2ab)+(...
全部展开
(a+b+c)平方=a平方+b平方+c平方+2ab+2ac+2ca；
所以3(a平方+b平方+c平方)=a平方+b平方+c平方+2ab+2ac+2ca；
两遍消掉化简之后得到：a平方+b平方+c平方-ab-bc-ca=0；
等式两边同时乘以2：
2a平方+2b平方+2c平方-2ab-2bc-2ca=0；
拆开重新排列：
(a平方+b平方-2ab)+(b平方+c平方-2bc)+(a平方+c平方-2ca)=0；
即(a-b)平方+(b-c)平方+(c-a)平方=0
因为a.b.c都是三角形的边，所以都大于0；三个大于等于零的数和为0，则三个数都是0。所以：
a-b=b-c=c-a=0，所以a=b=c
故证。
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