A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 00:24:15

A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0

A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0
设x为B的复特征值（复（含实）特征值一定有n个,而且其共轭复数也是其特征值）其共轭复数设为y
p为x的复特征向量,q为p的共轭复向量
Bp=xp,Bq=yq
-yq^Tp=-(Bq)^Tp=(q^TB)p=q^TBp=q^T(Bp)=q^Txp=xq^Tp
故(x+y)q^Tp=0
易证q^Tp不为零,故x+y=0,故特征值的实部均为0.
那么B的特征多项式det(λE-B)=f(λ)的因式一定是λ或是λ^2+c(c>0)的形式出现,故λ>0时f(λ)>0；故λ=0时f(λ)=0；故λ0（这个地方的符号,考虑λ的重数与n同奇数同偶）
detA表示A的行列式.
下面det(E+B)=(-1)^ndet(-E-B)=(-1)^nf(-1)>0
A可逆,detA不为零
考虑到A'^(-1)BA^(-1)也是反对称的
故det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
det(A'A+B)=detA'det(E+A'^(-1)BA^(-1))detA=(detA)^2det(E+A'^(-1)BA^(-1))>0
考虑了很久,其实这道题就是一个正定的加一个非负定的一定是一个非负定的题目.我这样说你估计要受不了.但用线代来证真累.

A,B为n级方阵若A为可逆矩阵B为n级实反对称矩阵证明A'A+B的行列式>0 设n阶方阵A,B的乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵一个线性代数问题.若两个n阶方阵A,B乘积为可逆矩阵.那么r(AB)=n 吗? 设A,B为n阶方阵,满足A+B=BA证明A-E为可逆矩阵设B 、C 为n 阶非零方阵,且矩阵A 可逆,若AB=AC ,则 B=C. 线性代数问题.已知n阶方阵A,B,A^2+AB+B^2=0,求证A为可逆矩阵的充要条件是B为可逆矩阵设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明：若A+B=AB,则A-E可逆. 设n阶方阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵设方阵B为n阶可逆方阵A的伴随矩阵,试求B的伴随矩阵（用A及A的行列式表示）. 设A,B,c均为n阶方阵,B可逆,则矩阵方程A+BX=C的解设A,B均为n阶方阵,E为单位矩阵,证明：若E-AB可逆,则E-BA也可逆,并求E-BA的逆 a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式设A为n*m矩阵,B为m*n矩阵,证明:当m>n时,方阵C=AB不可逆急用, 设A为n阶方阵,若对任意n*1矩阵B,AX=B都有解,则A是可逆阵,证明设A,B都是N阶方阵,I为N阶单位矩阵,且B=B^2,A=I+B,证明A可逆关于矩阵和可逆矩阵的题目1.设A.B均为n阶方阵且满足A+B+AB=0.证明:AB=BA2.设A.B均为n阶方阵且A+B为可逆矩阵,则A与B均为可逆矩阵.这句话是对的还是错的.原因呢? 设A,B为N阶方阵,若A可逆,证明AB与BA相似线性代数：若n阶方阵A为不可逆矩阵,则必有R(A)