三角形ABC中,角B等于60°,AD、CE分别是角BAC,角BCA的角平分线,且交于F请判断FE与FD的数量关系,并说明理由

三角形ABC中,角B等于60°,AD、CE分别是角BAC,角BCA的角平分线,且交于F请判断FE与FD的数量关系,并说明理由
三角形ABC中,角B等于60°,AD、CE分别是角BAC,角BCA的角平分线,且交于F请判断FE与FD的数量关系,并说明理由

三角形ABC中,角B等于60°,AD、CE分别是角BAC,角BCA的角平分线,且交于F请判断FE与FD的数量关系,并说明理由
FE=FD．
理由如下：方法一：如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2,
在△AEF和△AGF中, AG=AE ∠1=∠2 AF=AF ,
∴△AEF≌△AGF（SAS）,
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG,
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠2=1 /2 ∠BAC,∠3=1/ 2 ∠ACB,
∴∠2+∠3=1 /2 （∠BAC+∠ACB）=1/ 2 ×120°=60°,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°,
∴∠CFG=∠CFD,
∵CE是∠BCA的平分线,
∴∠3=∠4,
在△CFG和△CFD中, ∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4 ,
∴△CFG≌△CFD（ASA）,
∴FG=FD,
∴FE=FD；
证法二：如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H,
∵F是△ABC的内心,
∴FG=FH,
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠2=1/ 2 ∠BAC,∠3=1/ 2 ∠ACB,
∴∠2+∠3=1/ 2 （∠BAC+∠ACB）=1 /2 ×120°=60°,
∴∠AFE=∠2+∠3=60°,
∴∠GEF=60°+∠1,
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1,
∴∠GEF=∠HDF,
在△EGF和△DHF中, ∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH ,
∴△EGF≌△DHF（AAS）,
∴FE=FD．
望采纳,谢谢

FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中， AG=AE ∠1=∠2 AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，

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FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中， AG=AE ∠1=∠2 AF=AF ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1 /2 ∠BAC，∠3=1/ 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1 /2 （∠BAC+∠ACB）=1/ 2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中， ∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4 ，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；
证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1/ 2 ∠BAC，∠3=1/ 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1/ 2 （∠BAC+∠ACB）=1 /2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中， ∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH ，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
望采纳，谢谢

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