作业帮已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:23:15
![已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大](/uploads/image/z/754545-57-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%2B1%2Fx%2C%E2%91%A0%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8Ef%28x%29%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8x%E2%88%88%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E5%92%8Cx%E2%88%88%EF%BC%881%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%EF%BC%9B%E2%91%A1%E5%BD%93x%E2%88%88%5B%26%23189%3B%2Ca%5D%E6%97%B6%2Cf%28x%29%E2%88%88%5B2%2C5%2F2%5D%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.%EF%BC%88%E7%AC%AC%E4%B8%80%E9%97%AE%E5%B7%B2%E6%B1%82%E5%87%BA%2C%E5%9C%A8x%E2%88%88%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%87%8F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%9C%A8x%E2%88%88%EF%BC%881%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7)
已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大
已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；
②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.
（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大）上是增函数,如有错误请指出）谢谢!
已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大
(1)f(x)在区间（0,1）上单调递减；在区间（1,﹢∞）上的单调递增
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0,1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1,﹢∞）上的单调递增
(2)因为当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],且f(x)在区间（1/2,1）上单调递减,在区间（1,﹢∞）上的单调递增
2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2,解得1≤a≤2