已知椭圆C的方程x²/a²+y²/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点﹙1﹚求该椭圆的标准方程﹙2﹚设动点P﹙x0,y0﹚满足向量OP＝向量OM＋2向量ON,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM

已知椭圆C的方程x²/a²+y²/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点﹙1﹚求该椭圆的标准方程﹙2﹚设动点P﹙x0,y0﹚满足向量OP＝向量OM＋2向量ON,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM
已知椭圆C的方程x²/a²+y²/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点
﹙1﹚求该椭圆的标准方程
﹙2﹚设动点P﹙x0,y0﹚满足向量OP＝向量OM＋2向量ON,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM与ON的斜率之积为﹣1／2,求证：x0²＋2y0²为定值
﹙3﹚在﹙2﹚的条件下探究：是否存在两定点A,B,使得|PA|＋|PB|为定值?若存在,给出证明,若不存在,说明理由

已知椭圆C的方程x²/a²+y²/2=1(a>0),其焦点在x轴上,点Q(√2/2,√7/2)为椭圆上一点﹙1﹚求该椭圆的标准方程﹙2﹚设动点P﹙x0,y0﹚满足向量OP＝向量OM＋2向量ON,其中M,N是椭圆C上的点,直线OM
(1) Q点带入椭圆C方程可得
(√2/2)^2/a^2+(√7/2)^2/2=1,解得a=2
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/2=1,即为x^2+2y^2=4
(2) 设向量OP=(x0,y0),向量OM=(x1,y1),向量ON=(x2,y2)
∵向量OP=向量OM+2向量ON
∴x0=x1+2x2,y0=y1+2y2
又∵点M,N在椭圆C上,∴有：
x1^2+2y1^2=4,x2^2+2y2^2=4
又k(OM)*k(ON)=y1/x1*y2/x2=-1/2
∴x1x2+2y1y2=0
∴x0^2+2y0^2
=(x1+2x2)^2+2(y1+2y2)^2
=(x1^2+4x1x2+4x2^2)+2(y1^2+4y1y2+4y2^2)
=(x1^2+2y1^2)+4(x1x2+2y1y2)+4(x2^2+2y2^2)
=4+4*4+4*0
=20
即x0^2+2y0^2为定值
(3) ∵对于点P(x0,y0),有x0^2+2y0^2=20
又点P为动点,∴x^2+2y^2=20即为点P的轨迹方程
易知,点P的轨迹为一椭圆,其尺寸大小为椭圆C的√5倍
既然点P轨迹为椭圆,当然存在定点A,B,使得|PA|+|PB|为定值
根据椭圆定义,此两定点即为椭圆P的焦点,
且椭圆P焦点与椭圆C的焦点同在x轴上
易知椭圆C有：a=2,b=√2,c=√2
∴对于椭圆P有：a=2√5,b=√10,c=√10
∴A,B两点的坐标为A(-√10,0),B(√10,0)