已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1 (1) 当k=1,求函数f(x)最大值 (2)若函数f(x)无零点,求正实数k的取值范围?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/08 19:15:04
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1 (1) 当k=1,求函数f(x)最大值 (2)若函数f(x)无零点,求正实数k的取值范围?
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1 (1) 当k=1,求函数f(x)最大值
(2)若函数f(x)无零点,求正实数k的取值范围?
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1 (1) 当k=1,求函数f(x)最大值 (2)若函数f(x)无零点,求正实数k的取值范围?
(1)分析:(1)求出导函数,通过对k的讨论,判断出导函数的符号,列出x,f′(x),f(x)变换情况,求出函数f(x)的最大值.
(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).
f′(x)=1/(x+1)−1=-x/x+1,
当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
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(1)分析:(1)求出导函数,通过对k的讨论,判断出导函数的符号,列出x,f′(x),f(x)变换情况,求出函数f(x)的最大值.
(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).
f′(x)=1/(x+1)−1=-x/x+1,
当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=0时f(x)取得极大值f(0)=0
(2)分析:由题意可知kx>0
x+1>0
lnkx/2=ln(x+1)
可得x>-1且x≠0,k=x+1/x+2,(x>-1且x≠0),由“对号函数”的性质和集合的运算可得。
依题意得kx>0
x+1>0
lnkx/2=ln(x+1)
解得x>-1且x≠0
由对数的性质可得lnkx=2ln(x+1)=ln(x+1)²
可得kx=(x+1)²,
变形可得k=(x+1)2/x=x+1/x+2(x>-1且x≠0)
由“对号函数”的性质可知x+1/x<-2,或x+1/x≥2,
∴x+1/x+2<0,或x+1/x+2≥4,
∵函数f(x)= lnkx/2-ln(x+1)不存在零点,
∴k取x+1/x+2取值集合的补集,即{k|0≤k<4},
∴答案为:[0,4)
点评: 本题考查函数的零点,涉及“对号函数”的性质和集合的运算,属基础题.
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