已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 08:51:16

已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?
已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?

已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?
答案是4.
设内切球半径r,则表面积4Pi=4Pi*r^2,故r=1. (1)
设圆锥高h,显然h大于球直径,即h>2.
设底面半径R.设圆锥顶点和球相切点之间的距离是x.
考虑圆锥带内切球的中截面.由勾股定理,我们有
R^2+(R+x)^2=h^2, (2)
x^2+r^2=(h-r)^2. (3)
联立(1)(2)(3), 得到
R^2=h/(h-2). (4)
圆锥体积为V=Pi*R^2*h/3.
由(4)知,体积最小即
R^2*h=h^2/(h-2)
最小.记上式为f(h). 令f'(h)=0,因h>2,所以h=4是f的唯一一个极值点.显然当h接近2或者h接近无穷时,直观可见圆锥体积趋近无穷,所以h=4是使体积最小的高.

已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少? 已知一个圆锥内切球的表面积为4π,当圆锥体积最小时,它的高为多少?求详解, 圆锥的底面半径为1,表面积为4π,则圆锥的母线长为? 已知圆锥的表面积为πcm²,且它的侧面积展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为；体积为 . 已知一个圆锥的高为6cm,母线长为10cm,求圆锥的内切球的体积,和外接球的表面积要过程已知一个圆锥的底面圆面积为900πcm²,母线长为40cm,则该圆锥的表面积是 cm² 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r的半圆,则该圆锥的表面积是?（用含rπ的式子表示）已知圆锥的表面积为27πm^2,且它的侧面的展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径已知圆锥的表面积为27π平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形它的表面积为75π,求这个圆锥的底面半径和母线长 1,已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm^,则此圆锥的体积为2,已知某铅球的表面积是484cm^,则该铅球的体积是3,若圆锥的半径和高都是2,则圆锥的侧面积是4,一个空间几何体的主视图和左视图都已知圆锥的母线长为10cm,高为8 cm,求此圆锥的内切球的表面积. 一个圆锥表面积为π,它的侧面展开图为一个半圆,求这个圆锥的底面半径已知圆锥的高为4,底面直径为6.求圆锥的表面积要求详细解答过程, 一个圆锥中有一个内切球,内切球与圆锥的相切圆的半径为r,圆锥的半径为R,求球的表面积已知圆锥的表面积为6π,且它的侧面展开图是一个半圆,则底面半径为已知一个球的半径为R,一个圆锥的高等于这个球的直径,表面积等于这个球的表面积,球这个圆锥的体积已知圆锥的底面半径等于4,母线长等于5,则此圆锥的表面积为?