已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC.

已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC.
已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC.

已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC.
过P作PO垂直平面ABC于O,
则PA,PB,PC在平面ABC上的射影分别为OA,OB,OC,因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC(也可由直角三角形PAO,PBO,PCO全等得到),
即O为三角形ABC的外心,角ABC=90度,三角形ABC为直角三角形,AC为外接圆直径,圆心O为AC中点,所以PO在平面PAC,又PO垂直平面ABC,所以平面PAC垂直平面ABC

因为PA=PB=PC，所以P在面ABC上的射影是三角形ABC的中垂线交点（设为O）。又因为角ABC为直角，所以O为AC中点，因为PO垂直于面ABC，PO属于面PAC，所以面PAC垂直于面ABC