如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3cm,GC=4cm,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为多少?图形最左边那一列点依次是D、G、C（注意D、G不重合）,中间那

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 18:22:24

如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3cm,GC=4cm,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为多少?图形最左边那一列点依次是D、G、C（注意D、G不重合）,中间那
如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3cm,GC=4cm,连接EF、FG、

GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为多少?

图形最左边那一列点依次是D、G、C（注意D、G不重合）,中间那个是点A,最左边依次下来是A、E、B.

如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3cm,GC=4cm,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为多少?图形最左边那一列点依次是D、G、C（注意D、G不重合）,中间那
解法一:过G作GM⊥AB于M,设BF=x,CF=y,
则在Rt△GEM中,EG² =1+(x+y)² ,
在Rt△GCFM中,GF² =16+y²
在Rt△EBF中,EF² =9+x²
因为等边△EFG中EF=EG=GF,
∴9+x² =16+y² ,即x²-y² =7 （1）
1+(x+y)² =9+x² ,即y²+2xy=8 (2)
(1)×8-(2)×7后整理得,8x² -14xy -15y² =0,
两边同除以y2得8(x/y)² +14(x/y)-15=0,
设a=x/y,则有8a ² -14a-15=0
（2a-5）(4a+3)=0,解之得a=5/2或a=-3/4(舍去)
所以x=5y/2,代入（1）得,21y 2/4=7,
y=2√3 / 3,
所以x=5y/2=5√3 / 3,
所以正方形边长=x+y=7√3 / 3
解法二:延长GE交CB的延长线于M,过F作FN⊥EG于N,
则△MBE∽△MCG,ME/MG=3/4,∴ME/EG=3/1,
设EG=2x,则ME=6x,FN=√3x,
∵则△MBE∽△MNF,所以MB/3=MN/FN=7x/√3x=7/√3
∴MB=7√3,
又∵BE∥CG,所以BC/MB=EG/ME=2x/6x=1/3,
所以正方形的边长BC=MB/3=7√3/3.
解法三:延长CB至M,连接EM,使∠BME=60°,
延长BC至N,连接GN,使∠CNG=60°,
则可证△FME≌△GNF(AAS),所以MF=GN,ME=FN,
在Rt△MBE中,MB=√3,ME=2√3,
在Rt△NCG中,CN=4√3/3,GN=8√3/3,
所以BF=MF-MB==8√3/3,-√3=5√3/3,
FC=FN-CN=2√3-4√3/3=2√3/3
所以正方形的边长BC=BF+FC=5√3/3+2√3/3=7√3/3.