求证：1/(n+1)(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)(n>=2且为正数）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 12:58:13

求证：1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)(n>=2且为正数）
求证：1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)(n>=2且为正数）

求证：1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n)(n>=2且为正数）
二楼确实不对.此题可以运用数学归纳,也可以采用逆推法.要证1/(n+1)*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>1/n*(1/2+1/4+1/6+...+1/2n),等价于n*(1+1/3+1/5+...+1/2n-1)>（n+1）(1/2+1/4+1/6+...+1/2n),左右各加上n*（1/2+1/4+```````+1/2n）,那么左边就是n（1+1/2+1/3+1/4+``````+1/2n）,右边是（2n+1）（1/2+1/4+1/6+...+1/2n)=（n+1/2）(1+1/2+1/3+````+1/n),即等价于证明n*（1+1/2+1/3+1/4+``````+1/2n）>（2n+1）（1/2+1/4+1/6+...+1/2n)=（n+1/2）(1+1/2+1/3+````+1/n),消去相同的项,等价于证明[n/(n+1)+n/(n+2)+````+n/(2n)]>1/2*(1+1/2+1/3+````+1/n),只须证明每一项都是前者大于后者,即n/(n+k)>1/2k,这个可以通过真分数不等式,或者直接通分得证.故本题得证

1楼错解

数学归纳法：
当n=2时，有1/3*4/3=4/9>1/2*3/4=3/8
假设当n=K时成立；则有1/(k+1)(1+1/3+1/5+...+1/2k-1)>1/k*(1/2+1/4+...+1/2k)
则1/(k+2)*(1+1/3+...1/2k+1)
>(k+1)/(k+2)*1/k(1/2+.....

全部展开

数学归纳法：
当n=2时，有1/3*4/3=4/9>1/2*3/4=3/8
假设当n=K时成立；则有1/(k+1)(1+1/3+1/5+...+1/2k-1)>1/k*(1/2+1/4+...+1/2k)
则1/(k+2)*(1+1/3+...1/2k+1)
>(k+1)/(k+2)*1/k(1/2+...+1/2k)+1/(k+2)*1/(2k+1)
>1/(k+2)[(k+1)/k(1/2+...+1/2k)+1/(2k+1)]
显然(k+1)/k>1，1/(2k+1)>1/(2k+2)
则上式>1/(k+2)(1/2+...1/(2k+1)+1/(2k+2))
即证当n=k+1时也成立。
故对于所有的n>=2时结论成立！

收起

求证(1+1/n)^n （1）求证:n 求证2^n>2n+1(n>=3) 求证：3^n> (n +2)*2^((n-1) (n∈N*,且n>2) 求证:3^n>(n+2)2^(n+1)(n>2,n∈N*)用二项式定理求证：（1+1/n）^n 求证1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(3n+1)>1 [n属于N*] 当n为正偶数,求证n/(n-1)+n(n-2)/(n-1)(n-3)+...+n(n-2).2/(n-1)(n-3)...1=n 求证：3/2-1/n+1 求证：N=(5^2)*(3^2n+1)*(2^n)-(3^n)*(6^n+2) ∑（n^2-n^3/2^n+3^n)求证他是绝对收敛 n=1 求证：n的n+1次方大于n+1的n次方(n大于或等于3,n属于N) f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n 求证1+1/2+1/3+...+1/n>In(n+1) (n属于N+) 已经n∈N..n≥2.求证：1/2, 已经n∈N..n≥2.求证：1/2 求证n(n+1)(n+2)能被6整除求证lim n/(n!)^(1/n)=e