已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x轴上,又椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16√2/5.（1）求椭圆的方程.（2）求△OAB的面积.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 09:23:40

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x轴上,又椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16√2/5.（1）求椭圆的方程.（2）求△OAB的面积.
已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x轴上,又椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16√2/5.
（1）求椭圆的方程.
（2）求△OAB的面积.

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x轴上,又椭圆截直线y=x+2所得线段AB的长为16√2/5.（1）求椭圆的方程.（2）求△OAB的面积.
解析几何太变态了~
依题意有a=2b 所以设椭圆方程为：x^2/4A +y^2/A =1 (这里不想太麻烦就用A代表b^2了!)
椭圆和直线方程联立得到：5y^2 - 4y =4A-4 ,配方解得y=2/5 +- √4/5* A-16/25
x=y-2=-8/5 +- √4/5* A-16/25
（这上面x、y分别有两个值就是AB的横纵坐标了）
AB^2=(16^2)*2/25 解出A=4（刚开始我以为AB的距离是16*√（2/5）,算了个让我我很怀疑很奇怪的数字,但是检查了好几遍都是这样子的,后来觉得5应该是在根号外面,就算出了4……（郁闷啊）具体过程就是用坐标把AB表示出来,解得A）
椭圆方程：x^2/16 +y^2/4 =1
AB已经知道了,再利用点到直线的距离,算出原点到AB的距离也就是△OAB的高 H=√2
面积S=1/2 * AB*H=16/5
高中那会做解析几何简直就是痛苦啊,这种硬算的题,能用到向量还好点,这个就是纯粹考运算能力啊~楼主加点辛苦分吧~嘿嘿~

设椭圆的方程：x²/m² + 4y²/m² = 1
把直线y=x+2带入椭圆：5x² +16x+16-m² =0
AB²=2(x1-x2)² =512/25
(x1-x2)² = (x1+x2)² - 4x1x2=(20m²-64)/25
m=4 ,椭圆的方程:x²/16 + y²/4 = 1
S△OAB=AB(√2/2)=16/5