已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R(1)当a=1时,求函数最大值.(2)对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 17:52:27
已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R(1)当a=1时,求函数最大值.(2)对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.

已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R(1)当a=1时,求函数最大值.(2)对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.
已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R(1)当a=1时,求函数最大值.(2)对于区间【0,π/2】任意x,
f(x)≤1都成立,求a取值范围.

已知函数f(x)=sinX^2+acosx+5a/8-3/2,a属于R(1)当a=1时,求函数最大值.(2)对于区间【0,π/2】任意x,f(x)≤1都成立,求a取值范围.
(1)当a=1时
f(x)=sinX^2+cosx-7/8
=1-cosx^2+cosx-7/8
=-cosx^2+cosx+1/8
则f(x)是关于cosx的一个二次函数
-1<0,-1osx≤1
∴f(x)在(-∞,1/2)单增
∴当cosx=1/2时
f(x)max=-(1/2)^2+1/2+1/8=3/8
(2)由1问可知f(x)=-cosx^2+acosx+5a/8+1/3
在区间【0,π/2】有 0≤cosx≤1
要使f(x)≤1恒成立
则f(x)max≤1即可
此时f(x)在(-∞,a/2)单增
∴f(a/2)≤1即可
讨论a/2与1的大小
解除a的取值即可
以下计算略

(1)当a=1时,f(x)=-(cosx-1/2)^2+3/8
∵cosx∈[-1,1] ∴f(x)max=3/8
(2)f(x)=-(cosx)^2+acosx+5a/8-1/2
f(x)≤1 即-(cosx)^2+acosx+5a/8-3/2≤0
设t=cosx 则t∈[0,1]
g(t)=-t^2+at5a/8-3/2(0≤t≤1)
f(x)≤...

全部展开

(1)当a=1时,f(x)=-(cosx-1/2)^2+3/8
∵cosx∈[-1,1] ∴f(x)max=3/8
(2)f(x)=-(cosx)^2+acosx+5a/8-1/2
f(x)≤1 即-(cosx)^2+acosx+5a/8-3/2≤0
设t=cosx 则t∈[0,1]
g(t)=-t^2+at5a/8-3/2(0≤t≤1)
f(x)≤1在x∈[0,π/2]上恒成立,即g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立
∵g(t)函数图像开口向上
其对称轴为x=a/2
①当a/2≤0 即a≤0,g(t)在t∈[0,1]上是减函数,欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立,须g(t)max=g(0)≤0 即a≤12/5 故a≤0
②当0<a/2<1 即0<a<2时
g(t)在t∈[0,a/2]是增函数、在t∈[a/2,1]是减函数,欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立,须g(t)max=g(a/2)≤0 即-4≤a≤3/2 故0<a≤3/2
③当a/2≥1 即a≥2时,g(t)在t∈[a/2,1]是增函数,欲使g(t)≤0在t∈[0,1]上恒成立,须g(t)max=g(1)≤0即a≤20/13 故a∈空集
综上所述,a∈(-∞,3/2]
注:仅供参考!

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