若α,β是关于方程x²+2ax+2=0的两个实数根,则α²+β²的最小值是

若α,β是关于方程x²+2ax+2=0的两个实数根,则α²+β²的最小值是
若α,β是关于方程x²+2ax+2=0的两个实数根,则α²+β²的最小值是

若α,β是关于方程x²+2ax+2=0的两个实数根,则α²+β²的最小值是
根据韦达定理：α+β=-2a,αβ=2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4
而判别式=4a²-8≥0
∴a²≥2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4≥4
∴α²+β²有最小值4

αβ=2
不妨设α,β>0（否则a取成-a就行了）
所以α²+β²>=2αβ=4

根据韦达定理：α+β=-2a，αβ=2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4
但是要考虑a的取值范围，要方程有两根
则△=(2a)²-4*2>=0
a²>=2
则α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4>=4*2-4=4
...

全部展开

根据韦达定理：α+β=-2a，αβ=2
∴α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4
但是要考虑a的取值范围，要方程有两根
则△=(2a)²-4*2>=0
a²>=2
则α²+β²=(α+β)²-2αβ=4a²-4>=4*2-4=4
即当α²=2时，α²+β²有最小值4

收起