作业帮圆与圆的位置关系 (29 17:4:47)已知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P是它的内切圆上一点,求分别以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 07:12:02
圆与圆的位置关系 (29 17:4:47)已知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P是它的内切圆上一点,求分别以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
圆与圆的位置关系 (29 17:4:47)
已知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P是它的内切圆上一点,求分别以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
圆与圆的位置关系 (29 17:4:47)已知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P是它的内切圆上一点,求分别以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
建立坐标系 设A（0,3）B（0,0）C（4,0）,
∠ABC的角平分线交AC于D点,内切圆心为E点.
根据内切圆性质,不难证明E点在AD上,
设E点坐标为（a,a）
则内切圆方程为：（x-a）^2+(y-a)^2=a^2
根据面积之和得出:
S△ABC=4*3/2=6=a(3+4+5)/2（因为ABC面积可看作以E为顶点,AB,AC,BC三个边为边的三个小三角形之和）
a=1
所以内切圆方程为：（x-1）^2+(y-1)^2=1
PA^2=（3-y）^2+x^2、PB^2=x^2+y^2、PC^2=（4-x）^2+y^2
所以PA^2+PB^2+PC^2=（3-y）^2+x^2+x^2+y^2+（4-x）^2+y^2
=3x^2+3y^2-6y-8x+25=3(x-1)^2+3(y-1)^2-2x+19=22-2x
PA为直径的圆面积=PA^2*π/4
PB为直径的圆面积=PB^2*π/4
PC为直径的圆面积=PC^2*π/4
所以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和=PA^2*π/4+PB^2*π/4+PC^2*π/4
=（PA^2+PB^2+PC^2）*π/4=（22-2x）*π/4
因为0≤x≤2,所以：9π/2≤PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和≤11π/2
求A B C 到内切圆的圆心的距离，最大就是加半径，最小就是减半径。
内切圆的圆心应该会求吧？》