已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 09:10:51
已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
∵夹角是钝角,所以相乘<0
∴(2ta+7b)(a+tb)<0
2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
而ab=|a||b|cos60°=1
a²=4,b²=1
∴由2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
得8t+2t²+7+7t<0
即2t²+15t+7<0
(2t+1)(t+7)<0
t∈(-7,-1/2)

分析:由于两个向量相乘等于模长的积乘以cosθ,而θ为钝角时为负值,所以只需要两个向量相乘为负值,就可以说明这2个向量成钝角
由题意得
ab=|a||b|cos60°=1
a²=4,b²=1
(2ta+7b)(a+tb)<0
2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
2t*4+2t²*...

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分析:由于两个向量相乘等于模长的积乘以cosθ,而θ为钝角时为负值,所以只需要两个向量相乘为负值,就可以说明这2个向量成钝角
由题意得
ab=|a||b|cos60°=1
a²=4,b²=1
(2ta+7b)(a+tb)<0
2ta²+2t²ab+7ab+7tb²<0
2t*4+2t²*1+7*1+7t*1<0
8t+2t²+7+7t<0
即2t²+15t+7<0
(2t+1)(t+7)<0
-7所以实数t的取值范围为t∈(-7,-1/2)

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