设x.y .z 为正实数,满足x-2y+3z=0,y^2/xz的最小值是?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/26 16:32:48
设x.y .z 为正实数,满足x-2y+3z=0,y^2/xz的最小值是?

设x.y .z 为正实数,满足x-2y+3z=0,y^2/xz的最小值是?
设x.y .z 为正实数,满足x-2y+3z=0,y^2/xz的最小值是?

设x.y .z 为正实数,满足x-2y+3z=0,y^2/xz的最小值是?
由题意,y=(x+3z)/2
∴y²/xz
=[(x+3z)²/2²]/xz
=(x²+6xz+9z²)/4xz
=x/4z+3/2+9z/4x
≥3/2+2√[(x/4z)(9z/4x)]=3/2+3/2=3
当且仅当x/4z=9z/4x,即x=3z时等号成立
∴当x=3z时,y²/xz有最小值3

y=1/2x+3/2z
代入y^2/xz=x/4z+9z/4x+3/2
≥2√(4x/z*9z/4x)+3/2=3
∴最小值是3

x-2y+3z=0则2y=x+3z,4y^2=(x+3z)^2≥12XZ,
所以y^2≥3xz,即最小值是3

y^2/xz=(x+3z)^2/4xz
=(x/z+9z/x+6)/4>=(6+6)/4=3
等号成立,有x/z=9z/x,即x=3z时,最小值为3
希望能帮助到你。