∫x^7*e^(-x)dx 上限+∞ 下限0 如图3题,

∫x^7*e^(-x)dx 上限+∞ 下限0 如图3题,
∫x^7*e^(-x)dx 上限+∞ 下限0 如图3题,

∫x^7*e^(-x)dx 上限+∞ 下限0 如图3题,
1、
ƒ(x,y) = ∫(0→2x - y) e^(- t²) dt
∂ƒ/∂x = ∂(2x - y)/∂x * e^[- (2x - y)²]
= 2e^[- (2x - y)²]
2、
∫∫ e^(- x² - y²) dxdy
= ∫(0→2π) ∫(0→2) e^(- r²) rdrdθ
= θ |(0,2π) * (1/2)e^(- r²) |(0,2)
= 2π * (1/2)[e⁻⁴ - 1]
= 2(1/e⁴ - 1)π
3、两个方法：
第一个方法.运用伽玛函数Γ(n) = ∫(0→∞) xⁿ⁻¹e^(- x) dx,Γ(n) = (n - 1)!
∫(0→∞) x⁷e^(- x) dx
= ∫(0→∞) x⁸⁻¹e^(- x) dx
= Γ(8)
= (8 - 1)!
= 7!
第二个方法：
用分部积分法速解法,适用於x^n * e^(kx),x^n * (lnx)^k
f ,I ：x⁷ ,e^(- x) ↘+
f' ,I(1)：7x⁶ ,- e^(- x) ↘-
f'' ,I(2)：42x⁵ ,e^(- x) ↘+
f''',I(3)：210x⁴ ,- e^(- x) ↘-
f⁴ ,I(4)：840x³ ,e^(- x) ↘+
f⁵ ,I(5)：2520x²,- e^(- x) ↘-
f⁶ ,I(6)：5040x ,e^(- x) ↘+
f⁷ ,I(7)：5040 ,- e^(- x) ↘-
交叉相乘：
∫ x⁷e^(- x) dx
= - x⁷e^(- x) - 7x⁶e^(- x) - 42x⁵e^(- x) - 210x⁴e^(- x) - 840x³e^(- x) - 2520x²e^(- x) - 5040xe^(- x) - 5040e^(- x) + C
= - (x⁷ + 7x⁶ + 42x⁵ + 210x⁴ + 840x³ + 2520x² + 5040x + 5040)e^(- x) + C
∫(0→+∞) x⁷e^(- x) dx
= 5040 = 7!
4、
z = xln(xy)
∂z/∂x = ln(xy) * ∂x/∂x + x * ∂/∂x ln(xy)
= ln(xy) + x * 1/(xy) * y
= ln(xy) + 1
5、
∫(- 2→2) [xcos⁴x + √(4 - x²)] dx
= 0 + 2∫(0→2) √(4 - x²)
= 2 * (1/4)π(2)²
= 2π

方法1
伽马函数Gamma(t)=∫(0,∞)x^(t-1)e^(-x)dx
这里结果为Gamma (8)=7!
方法2
用laplace变换
=∫(0,∞)x^7e^(-x)dx=Gamma (8)/(s+1),s→0
=7！
方法3
分部积分+递推
记I(n)=∫(0,∞)x^ne^(-x)dx=n∫(0,∞)x^(n-1...

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方法1
伽马函数Gamma(t)=∫(0,∞)x^(t-1)e^(-x)dx
这里结果为Gamma (8)=7!
方法2
用laplace变换
=∫(0,∞)x^7e^(-x)dx=Gamma (8)/(s+1),s→0
=7！
方法3
分部积分+递推
记I(n)=∫(0,∞)x^ne^(-x)dx=n∫(0,∞)x^(n-1)e^(-x)dx=nI(n-1)
则I(n)/I(n-1)=n
并且易得I(1)=1
那么累乘有I(n)=n!*I(1)=n!
本题结果就为I(7)=7!
方法4含参积分略

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分部积分